小题押题16—5??基本初等函数、函数与方程
卷 别 全国卷Ⅰ 全国卷Ⅱ 全国卷Ⅲ 年 份 2017 考题位置 选择题第11题 考查内容 指数式与对数式的互化和对数的运算 对数的运算与大小比较 指数函数与幂函数的大小比较 命题规律分析 基本初等函数作为高考的命题热点，多单独或与不等式综合考查．常以选择、填空形式出现，有时难度较大．函数的应用问题集中体现在函数零点个数的判断，零点所在区间等方面．近几年全国卷虽较少考查，江苏 2018 第五题 对数函数的定义域 为做到有备无患，仍需引起足够重视．
考查点一 基本初等函数的图象与性质
1．(2016·全国卷Ⅲ)已知a＝2，b＝4，c＝25，则( ) A．b 432545 2013 选择题第8题 2016 选择题第6题 432513B．a 解析：选A 因为a＝2，b＝4＝2，由函数y＝2x在R上为增函数知，b 2．(2018·江苏) 函数f(x)?log2x?1的定义域为 解析：[2，+∞） 根式不小于0，故对数函数要不小于1，解得定义域x大于等于2 3．(2017·全国卷Ⅰ)设x，y，z为正数，且2x＝3y＝5z，则( ) A．2x<3y<5z C．3y<5z<2x 解析：选D 设2x＝3y＝5z＝k>1， ∴x＝log2k，y＝log3k，z＝log5k. ∵2x－3y＝2log2k－3log3k＝ 2 4323132323 B．5z<2x<3y D．3y<2x<5z 23－ logk2logk3 3 9logk82logk3－3logk2logk3－logk2 ＝＝＝>0， logk2·logk3logk2·logk3logk2·logk3 ∴2x>3y； ∵3y－5z＝3log3k－5log5k＝ 35－ logk3logk5 125logk ＝3logk5－5logk3logk53 －log5 243log＝k3 ＝k3·logk5logk3·logk5logk3·logk5 <0， ∴3y<5z； ∵2x－5z＝2log2k－5log5k＝ 25 log2－klogk5 2logk5－5logk2logk52 －log5 log25k ＝32log＝k2 ＝k2·logk5logk2·logk5logk2·logk5 <0， ∴5z>2x.∴5z>2x>3y. 考查点二 函数的零点判断及应用 4．(2017·全国卷Ⅲ)已知函数f(x)＝x2－2x＋a(ex－ 1＋e －x＋1 )有唯一零点，则a＝( A．－12 B.13 C.12 D．1 解析：选C 法一：f(x)＝x2－2x＋a(ex－ 1＋e－x＋1 ) ＝(x－1)2＋a[ex－ 1＋e －(x－1) ]－1， 令t＝x－1，则g(t)＝f(t＋1)＝t2＋a(et＋e－ t)－1. ∵g(－t)＝(－t)2＋a(e－ t＋et)－1＝g(t)， ∴函数g(t)为偶函数． ∵f(x)有唯一零点， ∴g(t)也有唯一零点． 又g(t)为偶函数，由偶函数的性质知g(0)＝0， ∴2a－1＝0，解得a＝1 2. 法二：由f(x)＝0?a(ex－ 1＋e －x＋1 )＝－x2＋2x. ex－ 1＋e －x＋1 ≥2ex－ 1·e －x＋1＝2， 当且仅当x＝1时取“＝”． －x2＋2x＝－(x－1)2＋1≤1， 当且仅当x＝1时取“＝”． 若a>0，则a(ex－ 1＋e －x＋1 )≥2a， 要使f(x)有唯一零点，则必有2a＝1，即a＝1 2. 若a≤0，则f(x)的零点不唯一． ) 1 综上所述，a＝. 2 5．(2014·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝ax3－3x2＋1，若f(x)存在唯一的零点x0，且x0＞0，则a的取值范围为 ( ) A．(2，＋∞) C．(1，＋∞) B．(－∞，－2) D．(－∞，－1) 解析：选B 当a＝0时，f(x)＝－3x2＋1有两个零点，不符合题意，故a≠0.f′(x)＝3ax2 2?2 －6x＝3x(ax－2)，令f′(x)＝0，得x＝0或x＝，由题意得a<0且f??a?>0，解得a<－2. a 6．(2011·全国卷)在下列区间中，函数f(x)＝ex＋4x－3的零点所在的区间为( ) 1 －，0? A.??4?11?C.??4，2? 11 0，? B.??4?13?D.??2，4? 11111?1?1?＝e2＋4×2－3＝e2－1>0，所44解析：选C 因为f?＝e＋4×－3＝e－2<0，f?4??2?411?以f(x)＝ex＋4x－3的零点所在的区间为??4，2?. 函数零点问题是难点——精析2种考法破解它 考法(一) 函数零点个数的判断及应用 1．函数的零点及其与方程根的关系 对于函数f(x)，使f(x)＝0的实数x叫做函数f(x)的零点．函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的根，即函数y＝f(x)的图象与函数y＝g(x)的图象交点的横坐标． 2．零点存在性定理 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根． [题组突破] 1．(2017·南昌模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且x＞0时，f(x)＝ln x－x＋1，则函数g(x)＝f(x)－ex(e为自然对数的底数)的零点个数是( ) A．0 C．2 B．1 D．3
[高考专项训练]基本初等函数、函数与方程
