高一数学抽象函数常见题型
抽象函数常见题型解法综述
抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一。本文就抽象函数常见题型及解法评析如下：
一、定义域问题
例1. 已知函数f(x2)的定义域是［1，2］，求f（x）的定义域。
解：f(x2)的定义域是［1，2］，是指1?x?2，所以f(x2)中的x2满足1?x2?4 从而函数f（x）的定义域是［1，4］
例2. 已知函数f(x)的定义域是[?1，2]，求函数f[log1(3?x)]的定义域。
2解：f(x)的定义域是[?1，2]，意思是凡被f作用的对象都在[?1，2]中，由此可得
1111?1?log1(3?x)?2?()2?3?x?()?1?1?x?
224211所以函数f[log1(3?x)]的定义域是[1，]
42二、求值问题
例3. 已知定义域为R?的函数f（x），同时满足下列条件：①f(2)?1，f(6)?②f(x?y)?f(x)?f(y)，求f（3），f（9）的值。
解：取x?2，y?3，得f(6)?f(2)?f(3)
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因为f(2)?1，f(6)?又取x?y?3
14，所以f(3)??
558得f(9)?f(3)?f(3)??
5三、值域问题
例4. 设函数f（x）定义于实数集上，对于任意实数x、y，f(x?y)?f(x)f(y)总成立，且存在x1?x2，使得f(x1)?f(x2)，求函数f(x)的值域。
解：令x?y?0，得f(0)?[f(0)]2，即有f(0)?0或f(0)?1。
若f(0)?0，则f(x)?f(x?0)?f(x)f(0)?0，对任意x?R均成立，这与存在实数x1?x2，使得f(x1)?f(x2)成立矛盾，故f(0)?0，必有f(0)?1。
由于f(x?y)?f(x)f(y)对任意x、y?R均成立，因此，对任意x?R，有
xxxxxf(x)?f(?)?f()f()?[f()]2?0
22222下面来证明，对任意x?R，f(x)?0
设存在x0?R，使得f(x0)?0，则f(0)?f(x0?x0)?f(x0)f(?x0)?0 这与上面已证的f(0)?0矛盾，因此，对任意x?R，f(x)?0 所以f(x)?0 四、解析式问题
x?1)?1?xx，
例5. 设对满足x?0，x?1的所有实数x，函数f(x)满足
f(x)?f(2 / 7
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求f（x）的解析式。
解：在f(x)?f(f(x?1)?1?xx(1)中以(2)
x?1代换其中x，得： xx?112x?1)?f(?)?xx?1x1代换x，得 x?1再在（1）中以?f(?1x?2)?f(x)?x?1x?1(3)
x3?x2?1 (1)?(2)?(3)化简得：f(x)?2x(x?1)评析：如果把x和
x?1分别看作两个变量，怎样实现由两个变量向一个变量的转x化是解题关键。通常情况下，给某些变量适当赋值，使之在关系中“消失”，进而保留一个变量，是实现这种转化的重要策略。
五、单调性问题
例6. 设f（x）定义于实数集上，当x?0时，f(x)?1，且对于任意实数x、y，有f(x?y)?f(x)?f(y)，求证：f(x)在R上为增函数。
证明：在f(x?y)?f(x)f(y)中取x?y?0，得f(0)?[f(0)]2 若f(0)?0，令x?0，y?0，则f(x)?0，与f(x)?1矛盾 所以f(0)?0，即有f(0)?1
当x?0时，f(x)?1?0；当x?0时，?x?0，f(?x)?1?0
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