例4 水平杆AB长2a，可绕铅垂轴z 转动，其两端各用铰链与长为l的杆AC及BD相连，杆端各联结质量为m的小球C和D。起初两小球用细线相连，使杆AC与BD均为铅垂，这系统绕z 轴的角速度为??。如某时此细线拉断，杆AC和BD各与铅垂线成??角。不计各杆的质量，求这时系统的角速度??。解：以系统为研究对象，系统所受的外力有小球的重力和轴承处的反力，这些力对转轴之矩都等于零。所以系统对转轴的动量矩守恒，即zAlCaa?0BlLz1?Lz2Lz1?2(ma?0)a?2ma?0Lz2?2m(a?lsin?)2?2ma2?0?2m(a?lsin?)2?a2???02(a?lsin?)显然，此时的角速度?＜?0。2DzAlCa?a??BlD 例8 卷扬机如图，鼓轮在常力偶M的作用下将圆柱上拉。已知鼓轮的半径为R1，质量为m1，质量分布在轮缘上；圆柱的半径为R2，质量为m2，质量均匀分布。设斜坡的倾角为α，圆柱只滚不滑。系统从静止开始运动，求圆柱中心C经过路程S 时的速度。
其中I1?m1R12IC?12m2R22MOCm2gFSFNFOy于是v?1?CR1v?2?CR2FOxm1g2vCT2?(2m1?3m2)4由T2?T1??W12得?2vCs(2m1?3m2)?0?M?m2gsin??s4R1解之得vC?2(M?m2gR1sin?)sR1(2m1?3m2) 11 / 14
例14 如图，均质杆质量为m，长为l，可绕距端点l/3的转轴O转动，求杆由水平位置静止开始转动到任一位置时的角速度、角加速度以及轴承O的约束反力。解：本题已知主动力求运动和约束反力。解法1：用动能定理求运动以杆为研究对象。由于杆由水平位置静止开始运动，故开始的动能为零，即OC?mg?T1?0杆作定轴转动，转动到任一位置时的动能为T2?11?1ll?1JO?2??ml2?m(?)2??ml2?222?1223?18在此过程中所有的力所作的功为1?W12?mgh?mglsin?6
由T2?T1??W12得1221ml??0?mglsin?186?2?3gsin?l??3gsin?lOC?mg?将前式两边对时间求导，得2?d?3gd??cos?dtldt??3gcos?2l 12 / 14
例17 均质细杆长为l，质量为m，静止直立于光滑水平面上。当杆受微小干扰而倒下时，求杆刚刚到达地面时的角速度和地面约束力。解：由于地面光滑，直杆沿水平方向不受力，倒下过程中质心将铅直下落。杆运动到任一位置(与水平方向夹角为??)时的角速度为??vC2vC?CPlcos?C此时杆的动能为T?121112mvC?JC?2?m(1?)vC2223cos2?T2?T1??W12vAPA?vC初动能为零，此过程只有重力作功，由?11l2m(1?)v?mg(1?sin?)C223cos?213g当?＝0°时解出vC?3gl??l2 杆刚刚达到地面时受力及加速度如图所示，由刚体平面运动微分方程，得aCAFACmg?mg?FA?maC(1)l12FA?JC??ml?212(2)aAAnaCA杆作平面运动，以A为基点，则C点的加速度为tnaC?aA?aCA?aCACtaCAaC??沿铅垂方向投影，得aC?atCAl??2(3)联立求解方程(1)~(3)，得1FA?mg4 例9 图示机构，已知曲柄OA的角速度为w，OA＝AB＝BO1＝O1C＝r，角a = b = 60o，求滑
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块C的速度。
解：AB和BC作平面运动，其瞬心分别为C1和C2点，则
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工程力学必考题型加答案
