学案34 基本不等式及其应用
导学目标： 1.了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．
自主梳理
1．基本不等式ab≤
2
(1)基本不等式成立的条件：__________.
(2)等号成立的条件：当且仅当______时取等号． 2．几个重要的不等式
22
(1)a＋b≥______ (a，b∈R)． (2)＋≥____(a，b同号)．
a＋bbaab?a＋b?2 (a，b∈R)．
??2?a＋b?2a2＋b2?(4)??____2. ?2?
(3)ab≤?
3．算术平均数与几何平均数
设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为__________，几何平均数为________，基本不等式可叙述为：____________________________________.
4．利用基本不等式求最值问题 已知x>0，y>0，则
(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当______时，x＋y有最____值是______(简记：积定和最小)．
(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当______时，xy有最____值是________(简记：和定积最大)．
自我检测
a2＋b2
1．“a>b>0”是“ab<”的______________条件．
2?1?x?a＋b?，B＝f(ab)，C＝f?2ab?，
2．已知函数f(x)＝??，a、b∈(0，＋∞)，A＝f???a＋b??2??2???
则A、B、C的大小关系是______________．
3．下列函数中，最小值为4的函数是________(填上正确的序号)．
4
①y＝x＋；
x4
②y＝sin x＋(0 sin xx－x③y＝e＋4e； ④y＝log3x＋logx81. 1 4．设函数f(x)＝2x＋－1(x<0)，则f(x)最大值为______________． x5．(2010·山东)若对任意x>0， x≤a恒成立，则a的取值范围为________． x2＋3x＋1 1 探究点一 利用基本不等式求最值 19 例1 (1)已知x>0，y>0，且＋＝1，求x＋y的最小值； xy51 (2)已知x<，求函数y＝4x－2＋的最大值； 44x－5 (3)若x，y∈(0，＋∞)且2x＋8y－xy＝0，求x＋y的最小值． 14 变式迁移1 (2011·重庆改编)已知a>0，b>0，a＋b＝2，则y＝＋的最小值是 ab________． 探究点二 基本不等式在证明不等式中的应用 11 例2 已知a>0，b>0，a＋b＝1，求证：(1＋)(1＋)≥9. ab 变式迁移2 已知x>0，y>0，z>0. ?yz??xz??xy?求证：?＋??＋??＋?≥8. ?xx??yy??zz? 探究点三 基本不等式的实际应用 例3 (2010·镇江模拟)某单位用2 160万元购得一块空地，计划在该空地上建造一栋至少10层，每层2 000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x(x≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x(单位：元)． (1)写出楼房平均综合费用y关于建造层数x的函数关系式； (2)该楼房应建造多少层时，可使楼房每平方米的平均综合费用最少？最少值是多少？ 购地总费用 (注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝) 建筑总面积 2 变式迁移3 某国际化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2012年英国伦敦奥运会期间进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，化妆品的年销量x万件与年促销费t万元之间满足3－x与t＋1成反比例，如果不搞促销活动，化妆品的年销量只能是1万件，已知2012年生产化妆品的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万件化妆品需再投入32万元的生产费用，若将每件化妆品的售价定为其生产成本的150%与平均每件促销费的一半之和，则当年生产的化妆品正好能销完． (1)将2012年的利润y(万元)表示为促销费t(万元)的函数． (2)该企业2012年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？ (注：利润＝销售收入－生产成本－促销费，生产成本＝固定费用＋生产费用) 1．a＋b≥2ab对a、b∈R都成立； 2 2 a＋b2 ≥ab成立的条件是a≥0，b≥0；＋≥2成 baab立的条件是ab>0，即a，b同号． 2．利用基本不等式求最值必须满足一正、二定、三相等三个条件，并且和为定值时，积有最大值，积为定值时，和有最小值． 3．使用基本不等式求最值时，若等号不成立，应改用单调性法．一般地函数y＝ax＋，当a>0，b<0时，函数在(－∞，0)，(0，＋∞)上是增函数；当a<0，b>0时，函数在(－∞，0)，(0，＋∞)上是减函数；当a>0，b>0时函数在?－在?－∞，－ bx??b??，0?，?0， a??b? ?上是减函数，a? b??b? ，＋∞?上是增函数；当a<0，b<0时，可作如下变形：y＝－?，? a??a? ?－ax＋?－b??来解决最值问题． ??x?????? ?? (满分：90分) 一、填空题(每小题6分，共48分) 3 11ab1．设a>0，b>0，若3是3与3的等比中项，则＋的最小值为________． ab?1a?2．已知不等式(x＋y)?＋?≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为 ?xy? ab________． 11 3．已知a>0，b>0，则＋＋2ab的最小值是______． 4．(2011·南京模拟)一批货物随17列货车从A市以a km/h的速度匀速直达B市，已知两地铁路线长400 km，为了安全，两列车之间的距离不得小于?? km，那么这批货物全 ?20? 部运到B市，最快需要________h. 3x－y－6≤0?? 5．设x，y满足约束条件?x－y＋2≥0 ??x≥0，y≥023 大值为12，则＋的最小值为________． ?a?2 ，若目标函数z＝ax＋by (a>0，b>0)的最 ab6．(2010·浙江)若正实数x，y满足2x＋y＋6＝xy，则xy的最小值是________． 2 7．(2011·江苏，8)在平面直角坐标系xOy中，过坐标原点的一条直线与函数f(x)＝ x的图象交于P，Q两点，则线段PQ长的最小值是________． 2xx8．已知f(x)＝3－(k＋1)3＋2，当x∈R时，f(x)恒为正值，则k的取值范围为______________． 二、解答题(共42分) 4 9．(14分)(1)已知0 3 xy(2)点(x，y)在直线x＋2y＝3上移动，求2＋4的最小值． 10．(14分)经观测，某公路段在某时段内的车流量y(千辆/小时)与汽车的平均速度v(千 920v米/小时)之间有函数关系y＝2(v>0)． v＋3v＋1 600 (1)在该时段内，当汽车的平均速度v为多少时车流量y最大？最大车流量为多少？ (2)为保证在该时段内车流量至少为10千辆/小时，则汽车的平均速度应控制在什么范围内？ 4 11．(14分)某加工厂需定期购买原材料，已知每千克原材料的价格为1.5元，每次购买原材料需支付运费600元，每千克原材料每天的保管费用为0.03元，该厂每天需要消耗原材料400千克，每次购买的原材料当天即开始使用(即有400千克不需要保管)． (1)设该厂每x天购买一次原材料，试写出每次购买的原材料在x天内总的保管费用y1 关于x的函数关系式； (2)求该厂多少天购买一次原材料才能使平均每天支付的总费用y最小，并求出这个最小值． 学案34 基本不等式及其应用 答案 自主梳理 1．(1)a≥0，b≥0 (2)a＝b 2.(1)2ab (2)2 (4)≤ a＋b3. ab 两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数 4.(1)x＝y 小 22p (2)x＝y 大 p2 4 自我检测 1．充分不必要 2.A≤B≤C 3.③ 4.－22－1 1 5．[，＋∞) 5 课堂活动区 例1 解题导引 基本不等式的功能在于“和与积”的相互转化，使用基本不等式求最值时，给定的形式不一定能直接适合基本不等式，往往需要拆添项或配凑因式(一般是凑和或积为定值的形式)，构造出基本不等式的形式再进行求解．基本不等式成立的条件是“一正、二定、三相等”，“三相等”就是必须验证等号成立的条件． 19 解 (1)∵x>0，y>0，＋＝1， xy?19?y9x∴x＋y＝(x＋y)?＋?＝＋＋10≥6＋10＝16. ?xy?xyy9x19 当且仅当＝时，上式等号成立，又＋＝1， xyxy∴x＝4，y＝12时，(x＋y)min＝16. 5 (2)∵x<，∴5－4x>0. 4 1?1?y＝4x－2＋＝－?5－4x＋?＋3 5－4x?4x－5? 1 5－4x·＋3＝1， 5－4x1 当且仅当5－4x＝， 5－4x即x＝1时，上式等号成立，故当x＝1时，ymax＝1. 28 (3)由2x＋8y－xy＝0，得2x＋8y＝xy，∴＋＝1. ≤－2 yx 5
高三数学大一轮复习讲义 第7章 基本不等式及其应用学案 苏教版
