2017上海中考18题、24题、25题全解析
枚育学府——吴老师
18、正n(n?4)的最短对角线与最长对角线的比值称为“特征值”，记作?n，那么?6? 【解析】?6表示的是正六边形的最短对角线与最长对角线的比值
在正六边形中，由图可知，最短对角线与最长对角线分别为：
AC，AD，且容易得到?ACD是一个?ADC?60的直角三角形。
sin?ADC?sin60?AC3? AD2
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24、如图1，在平面直角坐标系中，O为原点，已知抛物线y??x2?bx?c的对称轴为直线x?1。对称轴与x轴交于点C，抛物线经过点A(2,2) （1） 求抛物线的解析式及顶点B的坐标；
（2） 点M在点B的上方，设M(1,m)，求?AMB的余切值（用m的式子表示）； （3） 将抛物线进行向上或向下平移，使得抛物线的顶点落在x轴上，点P为原抛物线上一点，点Q为平移后抛物线上的对应一点，且OP?OQ,求点Q坐标。
【解析】
（1）由题意的抛物线的对称轴为直线x?1，?b?1所以b?2 2?(?1)将点A(2,2)坐标带入抛物线解析式y??x2?2x?c得，c?2 所以抛物线解析式为y??x2?2x?2 配方得y??(x?1)2?3，所以点B(1,3)
（2）过点A作对称轴的垂线，垂足为H，易知点H(1,2)。 在Rt?AHM中，AH?1,HM?m?2，所以cot?AMB?MHm?2??m?2 AH1（3）因为平移后抛物线的顶点落在x轴上，所以此时抛物线的解析式为
y??(x?1)2??x2?2x?1。因为P,Q为平移前后的对应点，且OP?OQ，所以x轴即
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为等腰?OPQ底边上的高线，所以点P,Q关于x轴对称。 故，?(?x2?2x?2)??x2?2x?1，解得x?综上点Q坐标为(
2?63，带入y??x2?2x?1得y?? 222?632?63,?),(,?)。 22223
25、如图1，已知?O的半径为1，弦AB?AC，弦长BO交弦AC于点D，联结OA,OC. （1） 求证：?OAD∽?ABD；
（2） 若?OCD是直角三角形，求BC的长；
（3） 记?AOB,?AOD,?COD的面积分别为S1,S2,S3,且S2是S1,S3的比例中项，求OD的长。
（1） 证明：
因为OA?OB?OC, 所以?1??2,?3??4， 又AB?AC，所以?AOB??AOC
又?AOC??1??2?180，?AOB??3??4?180
所以?1??4，又?ADO??ADB 所以?OAD∽?ABD
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（2） 第一种情况：当?DOC?90时，如图所示，
所以?BOC?90,又OB?OC，所以Rt?OBC为等腰直角三角形，且?OBC?45,
sin?OBC?OC2?,又OC?1，所以BC?2。 BC2
第二种情况：当?ODC?90时，如图所示，
此时，BD?AC,BD平分AC,所以BA?BC,又AB?AC，所以?ABC为等边三角形。
BD平分?DBC，又?BDC?90,?ABC?60,则?DBC?30,所以在Rt?BDC中，BC?2DC。在在Rt?ODC中，OC?1，?DOC?60，又sin?DOC?3,所以BC?3； 2DC3?， OC2所以DC?
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