第44练 数形结合思想
[思想方法解读] 数形结合是一个数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：①借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；②借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质.
数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何直观，使数量关系的精确刻画与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起，充分利用这种结合，寻找解题思路，使问题化难为易、化繁为简，从而得到解决.数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图象结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化.在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围.
数学中的知识，有的本身就可以看作是数形的结合.如：锐角三角函数的定义是借助于直角三角形来定义的；任意角的三角函数是借助于直角坐标系或单位圆来定义的.
体验高考
1.(2015·北京)如图，函数f(x)的图象为折线ACB，则不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是( )
A.{x|－1＜x≤0} B.{x|－1≤x≤1} C.{x|－1＜x≤1} D.{x|－1＜x≤2} 答案 C
解析 令g(x)＝y＝log2(x＋1)，作出函数g(x)的图象如图.
???x＋y＝2，?x＝1，由? 得? ?y＝log2?x＋1?，???y＝1.
∴结合图象知不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集为{x|－1 知识就是力量 2.已知f(x)＝2x－1，g(x)＝1－x2，规定：当|f(x)|≥g(x)时，h(x)＝|f(x)|；当|f(x)| 解析 由题意得，利用平移变化的知识画出函数|f(x)|，g(x)的图象如图，而h(x)＝ ??|f?x?|，|f?x?|≥g?x??， ?－g?x?，|f?x?| 故h(x)有最小值－1，无最大值. 3.(2015·重庆)若函数f(x)＝|x＋1|＋2|x－a|的最小值为5，则实数a＝________. 答案 4或－6 解析 由于f(x)＝|x＋1|＋2|x－a|， 当a>－1时， －3x＋2a－1 ?x<－1?，?? f(x)＝?－x＋2a＋1?－1≤x≤a?， ??3x－2a＋1?x>a?. 作出f(x)的大致图象如图所示，由函数f(x)的图象可知f(a)＝5， 即a＋1＝5， ∴a＝4. 同理，当a≤－1时，－a－1＝5， ∴a＝－6. 知识就是力量 高考必会题型 题型一 数形结合在方程根的个数中的应用 x 例1 方程sin πx＝的解的个数是( ) 4A.5 B.6 C.7 D.8 答案 C x 解析 在同一平面直角坐标系中画出y1＝sin πx和y2＝的图象，如下图： 4 x 观察图象可知y1＝sin πx和y2＝的图象在第一象限有3个交点，根据对称性可知，在第三 4x 象限也有3个交点，在加上原点，共7个交点，所以方程sin πx＝有7个解. 4点评 利用数形结合求方程解应注意两点 (1)讨论方程的解(或函数的零点)可构造两个函数，使问题转化为讨论两曲线的交点问题，但用此法讨论方程的解一定要注意图象的准确性、全面性，否则会得到错解. (2)正确作出两个函数的图象是解决此类问题的关键，数形结合应以快和准为原则而采用，不要刻意去数形结合. x??x－1－kx2，x≤0， 变式训练1 若函数f(x)＝?有且只有两个不同的零点，则实数k的取 ??ln x，x>0值范围是( ) A.(－4，0) B.(－∞，0] C.(－4，0] D.(－∞，0) 答案 B 解析 当x>0时，f(x)＝ln x与x轴有一个交点， 即f(x)有一个零点. xx 依题意，显然当x≤0时，f(x)＝－kx2也有一个零点，即方程－kx2＝0只能有一个 x－1x－1解. x 令h(x)＝，g(x)＝kx2，则两函数图象在x≤0时只能有一个交点. x－1 x 若k>0，显然函数h(x)＝与g(x)＝kx2在x≤0时有两个交点，即点A与原点O(如图所示). x－1 知识就是力量
考前三个月高考数学(全国甲卷通用理科)知识方法篇专题10数学思想第44练数形结合思想含答案
