3.2.2 函数的和、差、积、商的导数
[学习目标] 1.理解函数的和、差、积、商的求导法则.2.理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数．
知识点 导数运算法则
法则 [f(x)±g(x)]′ ＝f′(x)±g′(x) [f(x)g(x)]′ ＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x) 语言叙述 两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差) 两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘上第二个函数，加上第一个函数乘上第二个函数的导数 ?fx?′ ?gx?＝f′xgx－fxg′x g2x两个函数的商的导数，等于分子的导数乘上分母减去分子乘上分母的导数，再除以分母的平方 (g(x)≠0) 思考 若f(x)＝x2·sin x，则f′(x)＝(x2)′·(sin x)′＝2x·sin x是否正确？ 答案 不正确．f′(x)＝(x2)′·sin x＋x2·(sin x)′＝2x·sin x＋x2·cos x.
题型一 利用导数的运算法则求函数的导数 例1 求下列函数的导数： (1)y＝(x2＋1)(x－1)； (2)y＝3x－lg x.
解 (1)∵y＝(x2＋1)(x－1)＝x3－x2＋x－1， ∴y′＝(x3)′－(x2)′＋x′＝3x2－2x＋1.
(2)函数y＝3x－lg x是函数f(x)＝3x与函数g(x)＝lg x的差．由导数公式表分别得出 1f′(x)＝3xln 3，g′(x)＝，
xln 10利用函数差的求导法则可得
1
(3x－lg x)′＝f′(x)－g′(x)＝3xln 3－. xln 10
反思与感悟 本题是基本函数和(差)的求导问题，求导过程要紧扣求导法则，联系基本函数求
导法则，对于不具备求导法则结构形式的可先进行适当的恒等变形转化为较易求导的结构形式再求导数．
跟踪训练1 求下列函数的导数： (1)y＝x3－x2－x＋3； 23(2)y＝2＋3；
xx1－sin x(3)y＝；
1＋cos x1＋x1－x(4)y＝＋ .
1－x1＋x解 (1)y′＝(x3－x2－x＋3)′ ＝(x3)′－(x2)′－x′＋3′ ＝3x2－2x－1.
(2)方法一 因为y＝2x2＋3x3，
－
－
所以y′＝(2x2＋3x3)′
－
－
＝(2x2)′＋(3x3)′
－
－
＝－4x3－9x4
－
－
49＝－3－4. xx
23??2??3?2＋3′＝2′＋3′ 方法二 y′＝??xx??x??x?2′·x2－2·?x2?′3′·x3－3·?x3?′
＝＋
x4x649
＝－3－4. xx(3)y′＝?＝
?1－sin x?′
??1＋cos x?
?1－sin x?′?1＋cos x?－?1－sin x??1＋cos x?′
?1＋cos x?2－cos x－cos2x＋sin x－sin2x＝ ?1＋cos x?2＝
－1－cos x＋sin x
. ?1＋cos x?21＋x1－x?1＋x?2?1－x?2
(4)因为y＝＋＝＋ 1－x1－x1－x1＋x＝
2?1＋x?4
＝－2， 1－x1－x
44′?1－x?－4?1－x?′4
所以y′＝?1－x－2?′＝＝. 2???1－x??1－x?2题型二 导数的应用
例2 求过点(1，－1)与曲线f(x)＝x3－2x相切的直线方程． 解 设P(x0，y0)为切点，则切线斜率为 k＝f′(x0)＝3x20－2.
2
故切线方程为y－y0＝(3x0－2)(x－x0)．①
∵(x0，y0)在曲线上，∴y0＝x30－2x0，② 又∵(1，－1)在切线上， ∴将②式和(1，－1)代入①式，得
2－1－(x30－2x0)＝(3x0－2)(1－x0)．
1解得x0＝1或x0＝－.
2
17
∴P点坐标为(1，－1)或(－，)，
28
751
故所求的切线方程为y＋1＝x－1或y－＝－(x＋)．
842即x－y－2＝0或5x＋4y－1＝0.
反思与感悟 (1，－1)虽然在曲线上，但是经过该点的切线不一定只有一条，即该点有可能是切点，也可能是切线与曲线的交点，解题时注意不要失解．
ex
跟踪训练2 若函数f(x)＝在x＝c处的导数值与函数值互为相反数，求c的值．
xexec
解 因为f(x)＝，所以f(c)＝，
xcex·x－exex?x－1?
又因为f′(x)＝＝，
x2x2ec?c－1?
所以f′(c)＝.
c2c
ece?c－1?
依题意，知f(c)＋f′(c)＝0，所以＋＝0，
cc21
所以2c－1＝0，解得c＝.
2
方程思想的应用
例3 设f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1的导数f′(x)满足f′(1)＝2a，f′(2)＝－b，其中常数a，b∈R，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程．
2024版高中数学选修1-1学案：第三章 3-2-2 函数的和、差、积、商的导数 含答案 精品
