《高等数学》考研辅导练习4 不定积分 1． 求f(x)?e?x在R上的一个原函数。
222． 已知f?(sinx)?cosx?tanx，求f(x)3． 设
20?x?1。
?f(x)dx?x2?C，则?xf(1?x2)dx? 。
ln(x?1?x2)dx。 21?x4． 计算
?x31?x2dx。 5。 计算?6． 计算
11dx。 7。 计算?x14?x2dx。 ?x(x7?2)8． 计算
1?1?3sin2xdx。 9。 计算?1sinxcosx1272dx。
10． 计算
??xsinx?cosx?x22dx。
211． 计算
??lnf(x)?lnf?(x)??f?(x)?f(x)f??(x)?dx。
?1dx? 。 f(x)12． 设xf(x)dx?arcsinx?C，则
?x213． 设f(x?1)?ln2，且f(?(x))?lnx，求??(x)dx。
x?22xearctanxxexdx。 15． 计算?14． 计算?dx。 23/2x(1?x)e?116． 计算
1n?。 17． 计算。 18． 计算dxlnxtlntdt?sin2x?2sinx???dx。 ?《高等数学》考研辅导练习5 定积分
l?kx0?x??x?21．设f(x)??，求?(x)??f(t)dt。
0?cl?x?l??22． 设f(x)?x?23． 计算
?10f(x)dx，则f(x)? 。
?2?3min?2,x2?dx。
4． 已知f(x)连续，且满足f(x)f(?x)?1，则
1 / 4
cosx???21?f(x)dx＝ 。
2??5． 计算
?20?mmsin10x?cos10xsinx?cosxdx，并求?2dx，这里的a为任意的常数，
0a?sinnx?cosnx4?sinx?cosxm,n为正整数。
6． 计算
?4ln(9?x)ln(9?x)?ln(x?3)?2dx。 7． 计算?20f(sinx)dx。
f(cosx)?f(sinx)?2008sinxdx。 9． 计算?2lntantdt。 8． 计算?20sin2008x?cos2008x0?2?3310． 计算
???(ecosx?e?cosx)dx。 11． 计算???11dx。
ex?1?e3?x12． 已知f?(x)?g(x)，g(x)连续，f(?)?f(0)?2，求
x2(1?x)??0?g(x)f(x)????dx。
?1?x?1?x?2???13． 由
?0f(t)dt?x，求连续函数f(x)在x?2处的值。
14． 设F(x)?15． 求定积分
??x20edt，则??2x2F?(x)dx? 。 sinxarctanexdx的值。 16． 计算??0?t23???22xsinxdx。 21?cosx32?2x?x?1?x?0?2x?17． 设f(x)??，求?(x)??f(t)dt。
xex?10?x?1?2??ex?1??18． 已知f(x)满足方程f(x)?3x?1?x19． 设函数f(x)连续，满足20． 计算
x2?10f2(x)dx，求f(x)。
??3f(t)?1?dt?f(x)?2，求f?(0)。
0???x0?1?x?22dx。
21．
?40x2?3x?2dx? 。
22． 设函数f(x)连续，证明
???x0u0f(t)dtdu??(x?u)f(u)du。
0?x23． 计算
?20?1x?0??x?1f(x?1)dx，f(x)??。
?1x?0??1?ex2 / 4
24． 由
?y0edt??t2x20sintdt?1，确定y为x的函数，求y?。 t25． 已知f(x)?1?26． 设f(x)连续，27． 证明：（1） （2）
1xf(t)dt(x?0)，求f(x)。 ?1x?x?0tf(x?t)dt?1?cosx，求?2f(x)dx的值。
010?baf(x)dx?(b?a)?f(a?(b?a)x)dx；
??2?0f(cosx)dx?4?2f(cosx)dx；
01 （3）?2cosxsinxdx?n02nn???20cosnxdx，n为正整数。
《高等数学》考研辅导练习6 常微分方程
1． 三个线性无关函数y1(x),y2(x),y3(x)均为方程y???p(x)y??q(x)y?f(x)的解，则方程的通解可表示为： 。
2． 方程y??p(x)y?Q(x)有两个解y1(x),y2(x)，则方程的通解为： 。
x?2xx3． y?C1e?C2e?xe是二阶常系数线性微分方程 的通解。
4． 求y???y?x?1?sinx的特解的估计表示形式可写为 。
2x?x(t)??5． y?y(x)由方程?确定，x?x(t)是初值问题 t2y?y(t)??ln(1?u)du?0??dx?xd2y??2te?0的解，求2。 ?dtdx?x|?0t?0?6． 求微分方程y????6y???(9?a)y??1的通解(a?0)。 7． 已知f(x)?sinx?2?x0(x?t)f(t)dt，求f(x)。 8． 求y???2y??3y?e?3x的通解。
9． f具有二阶连续的导数，f?(0)?1,f(0)?0，且
?xy(x?y)?f(x)y?dx??f?(x)?x2y?dy?0
为一全微分方程，求f(x)，并求此方程的通解。
10． 求
dy1?的通解。 dxx?yx33 / 4
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