总 习 题 六
1? 一金属棒长3m? 离棒左端xm处的线密度为?(x)?1 x?1(kg/m)? 问x为何值时? [0? x]一段的质量为全棒质量的一半? 解 x应满足? 因为?xx01dt?131dt?
2?0t?1t?101dt?[2t?1]x?2x?1?2? 131dt?1[2t?1]3?1? 002?0t?12t?1所以 2x?1?2?1?
5 x?(m)?
4 2? 求由曲线??asin?? ??a(cos??sin?)(a>0)所围图形公共部分的面积? 解
S?1??(a)2?1??4a2(cos??sin?)2d? 2222223??aa ????4(1?sin2?)d????1a2?
3?8224 3? 设抛物线y?ax2?bx?c通过点(0? 0)? 且当x?[0? 1]时? y?0? 试确定a、b、c的值? 使得抛物线y?ax2?bx?c与直线x?1? y?0所围图形的
4面积为? 且使该图形绕x轴旋转而成的旋转体的体积最小? 9 解 因为抛物线y?ax2?bx?c通过点(0? 0)? 所以c?0? 从而 y?ax2?bx?
抛物线y?ax2?bx与直线x?1? y?0所围图形的面积为 S??(ax2?bx)dx?a?b?
0321令a?b?4? 得b?8?6a?
3299 该图形绕x轴旋转而成的旋转体的体积为
22ab V???(ax?bx)dx??(??ab)
05321222a ??[?1(8?6a)2?a(8?6a)]? 53929 令dV??[?a?12?6a?8?1(8?12a)]?0? 得a??5? 于是b?2? d5381183 4? 求由曲线y?x与直线x?4? x轴所围图形绕y轴旋转而成的旋转体的体积?
解 所求旋转体的体积为
742 V?2??x?xdx?2??x20?512??
07743232 5? 求圆盘(x?2)2?y2?1绕y轴旋转而成的旋转体的体积? 解 V?2?2??x?1?(x?2)2dx
13
令x?2?sint 4???22??(2?sint)cos2tdt?4?2?
1 6? 抛物线y?x2被圆x2?y2?3所需截2下的有限部分的弧长?
22x?y?3?? 解 由?12解得抛物线与圆的两个交点为(?2, 1)? (2, 1)? 于
y?x??2是所求的弧长为 s?2?22x1221?xdx?2[1?x?ln(x?1?x)]0
2220 ?6?ln(2?3)?
7? 半径为r的球沉入水中? 球的上部与水面相切? 球的比重与水相同? 现将球从水中取出? 需作多少功?
解 建立坐标系如图? 将球从水中取
出时? 球的各点上升的高度均为2r? 在x处取一厚度为dx的薄片? 在将球从水中取出的过程中? 薄片在水下上升的高度为r?x? 在水上上升的高度为r?x? 在水下对薄片所做的功为零? 在水上对薄片所做的功为 dW?g?(r?x)(r2?x2)dx? 对球所做的功为
W?g??(r?x)(r2?x2)dx?4?r2g?
?r3r 8? 边长为a和b的矩形薄板? 与液面成??角
斜沉于液体内? 长边平行于液面而位于深h处? 设a>b? 液体的比重为??
试求薄板每面所受的压力?
解 在水面上建立x轴? 使长边与x轴在同一垂面上? 长边的上端点与原点对应? 长边在x轴上的投影区间为[0? bcos?]? 在x处x轴到薄板的距离为h?xtan?? 压力元素为
?ga(h?xtan?)dx? dP??g?(h?xtan?)?a?dx?cos?cos?薄板各面所受到的压力为
?gabcos?1?gab(2h?bsin?)? (h?xtan?)dx? P?cos??02 9? 设星形线x?acos3t? y?asin3t上每一点处的线密度的大小等于该点到原点距离的立方? 在原点O处有一单位质点? 求星形线在第一象限的弧段对这质点的引力?
解 取弧微分ds为质点? 则其质量为 (x2?y2)3ds?(x2?y2)3ds?
其中ds?[(acos3t)?]2?[(asin3t)?]2dt?3asintcostdt?
设所求的引力在x轴、y轴上的投影分别为Fx、Fy? 则有 Fx???20?1?(x2?y2)3x3Ga2? 224G??ds?3Gacostsintdt??0(x2?y2)5x2?y2?2231?(x?y)y3Ga2? 224?ds?3Gacostsintdt? Fx??2G??00(x2?y2)5x2?y2?所以F?(3Ga2, 3Ga2)?
55
高等数学同济大学第六版 总复习六答案
