专题03：导数及其应用-高考理数二轮复习精品资料

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专题03：导数及其应用-高考理数二轮复习精品资料

知识梳理

高考将以导数的几何意义为背景，重点考查运算及数形结合能力，导数的综合运用涉及的知识面广，综合的知识点多，形式灵活，是每年的必考内容，经常以压轴题的形式出现．

预测高考仍将利用导数研究方程的根、函数的零点问题、含参数的不等式恒成立、能成立、实际问题的最值等形式考查．

1．导数的定义 f ′(x)＝lim

Δx→0

fx＋Δx－fxΔy

＝lim . ΔxΔx

Δx→0

2．导数的几何意义

函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f ′(x0)就是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，即k＝f ′(x0)． 3．导数的运算

(1)基本初等函数的导数公式

①c′＝0(c为常数)； ②(xm)′＝mxm1； ③(sinx)′＝cosx; ④(cosx)′＝－sinx； 11

⑤(ex)′＝ex; ⑥(ax)′＝axlna； ⑦(lnx)′＝； ⑧(logax)′＝.

xxlna(2)导数的四则运算法则

①[f(x)±g(x)]′＝f ′(x)±g′(x)； ②[f(x)·g(x)]′＝f ′(x)g(x)＋f(x)g′(x)； f ′xgfx

③[]′＝gx4．函数的性质与导数

在区间(a，b)内，如果f ′(x)>0，那么函数f(x)在区间(a，b)上单调递增．如果f ′(x)<0，那么函数f(x)在区间(a，b)上单调递减．

5．利用定积分求曲线围成图形的面积的步骤：①画出图形；②确定被积函数；③求出交点坐标，确定积分的上、下限；④运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积．特别注意平面图形的面积为正值，定积分值可能是负值．

被积函数为y＝f(x)，由曲线y＝f(x)与直线x＝a，x＝b(a0时，S＝?bf(x)dx；

x－fxg′x

. ④设y＝f(u)，u＝φ(x)，则y′x＝y′uu′x.

g2x

－

?a

②当f(x)<0时，S＝－?bf(x)dx；

?a

1

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③当x∈[a，c]时，f(x)>0；当x∈[c，b]时，f(x)<0，则S＝?cf(x)dx－?bf(x)dx.

?a?c

考点一 导数的几何意义及应用 例1、（2018年全国Ⅲ卷理数）曲线

在点 所以

处的切线的斜率为

，则

________．

解析：

，则

【变式1】(1)已知函数f(x)＝ax3＋x＋1的图象在点(1，f(1))处的切线过点(2,7)，则a＝________. 基本法：由题意可得f′(x)＝3ax2＋1，∴f′(1)＝3a＋1，

又f(1)＝a＋2，∴f(x)＝ax3＋x＋1的图象在点(1，f(1))处的切线方程为y－(a＋2)＝(3a＋1)(x－1)，又此切线过点(2,7)，∴7－(a＋2)＝(3a＋1)(2－1)，解得a＝1.

速解法：∵f(1)＝2＋a，由(1，f(1))和(2,7)连线斜率k＝∴a＝1. 答案：1

(2)已知曲线y＝x＋ln x在点(1,1)处的切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，则a＝________. 1

基本法：令f(x)＝x＋ln x，求导得f′(x)＝1＋，f′(1)＝2，又f(1)＝1，所以曲线y＝x＋ln x在点(1,1)处的

x切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.设直线y＝2x－1与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1的切点为P(x0，y0)，则y′|x＝x0＝2ax0＋a＋2＝2，得a(2x0＋1)＝0，

12

∴a＝0或x0＝－，又ax2 0＋(a＋2)x0＋1＝2x0－1，即ax0＋ax0＋2＝0，当a＝0时，显然不满足此方程，21

∴x0＝－，此时a＝8.

2

速解法：求出y＝x＋ln x在(1,1)处的切线为y＝2x－1

?y＝2x－1?由?得ax2＋ax＋2＝0，∴Δ＝a2－8a＝0，∴a＝8或a＝0(显然不成立)．答案：8 2??y＝ax＋a＋2x＋1

5－a

＝5－a，f′(x)＝3ax2＋1，∴5－a＝3a＋1，1

【变式2】设曲线y＝ax－ln(x＋1)在点(0,0)处的切线方程为y＝2x，则a＝( ) A．0 B．1 C．2 D．3

解析：：基本法：y′＝a－

1

，当x＝0时，y′＝a－1＝2，∴a＝3，故选D. x＋1

2

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考点二 导数与函数的极值、最值

例2、（2018年浙江卷）已知λ∈R，函数f(x)=

，当λ=2时，不等式f(x)<0的解集是

___________．若函数f(x)恰有2个零点，则λ的取值范围是___________．

解析：由题意得

集是时，为

。

当

时，

，由

或

，此时

，所以或，即，即在

，不等式f(x)<0的解上有两个零点；当.综上，的取值范围

在上只能有一个零点得

【变式1】 (1)已知函数f(x)＝ax3－3x2＋1，若f(x)存在唯一的零点x0，且x0＞0，则a的取值范围是( ) A．(2，＋∞) B．(1，＋∞) C．(－∞，－2) D．(－∞，－1)

2基本法：a＝0时，不符合题意．a≠0时，f′(x)＝3ax2－6x，令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝.

a若a＞0，则由图象知f(x)有负数零点，不符合题意．

2?84

则a＜0，由图象结合f(0)＝1＞0知，此时必有f?＞0，即a×－3×＋1＞0，化简得a2＞4，又a＜0，3?a?aa2

所以a＜－2，故选C.

速解法：若a＞0，又∵f(0)＝1，f(－1)＝－a－2＜0，

44

在(－1,0)处有零点，不符合题意．∴a＜0，若a＝－，则f(x)＝－x3－3x2＋1

33

333

－?为极小值且f?－?＜0，有三个零点，排除D.选C f′(x)＝－4x2－6x＝0，∴x＝0，或x＝－.此时f??2??2?2(2)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，下列结论中错误的是( ) A．?x0∈R，f(x0)＝0

B．函数y＝f(x)的图象是中心对称图形

C．若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(－∞，x0)单调递减 D．若x0是f(x)的极值点，则f′(x0)＝0

基本法：由三次函数的值域为R知，f(x)＝0必有解，A项正确；因为f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c的图象可由y＝x3平移得到，所以y＝f(x)的图象是中心对称图形，B项正确；若y＝f(x)有极值点，则其导数y＝f′(x)必有2个零点，设为x1，x2(x1＜x2)，则有f′(x)＝3x2＋2ax＋b＝3(x－x1)(x－x2)，所以f(x)在(－∞，x1)上递增，在(x1，x2)上递减，在(x2，＋∞)上递增，则x2为极小值点，所以C项错误，D项正确．选C.

速解法：联想f(x)的图象模型如图显然C错．答案：C

3

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【变式2】函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx－34(a，b，c∈R)的导函数为f′(x)，若不等式f′(x)≤0的解集为{x|－2≤x≤3}，且f(x)的极小值等于－115，则a的值是( )

811A．－ B.

223C．2 D．5

基本法：由已知可知f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，由3ax2＋2bx＋c≤0的解集为{x|－2≤x≤3}可知a＞0，且－2,3－3a2bc

是方程3ax2＋2bx＋c＝0的两根，由根与系数的关系知－＝(－2)＋3，＝－2×3，∴b＝，c＝－18a，

3a3a23a

此时f(x)＝ax3－x2－18ax－34，当x∈(－∞，－2)时，f′(x)＞0，f(x)为增函数；当x∈(－2,3)时，f′(x)＜0，

2f(x)为减函数；当x∈(3，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)为增函数，

27a

∴f(3)为f(x)的极小值，∵f(3)＝27a－－54a－34＝－115，∴a＝2，故选C.

2

考点三 导数与函数的单调性 例3、（2018年全国Ⅱ卷理数）若A. B. C.

D.

，所以由

，因此

11

，＋∞?是增函数，则a的取值范围是( ) 【变式1】若函数f(x)＝x2＋ax＋在??x?2A．[－1,0] B．[－1，＋∞) C．[0,3] D．[3，＋∞)

111

，＋∞?恒成立，又f′(x)＝2x＋a－2，所以2x＋a－2≥0对任意基本法：由题意知f′(x)≥0对任意的x∈??2?xx11?12－2x?max.令h(x)＝1－2x，?1，＋∞?.，＋∞?恒成立，的x∈?分离参数得a≥－2x，若满足题意，需a≥x∈?2??x??2?x2x21112

，＋∞?时，h′(x)＜0，即h(x)在?，＋∞?上单调递减，所以h(x)＜h??＝3，因为h′(x)＝－3－2，所以当x∈??2??2??2?x故a≥3.

速解法：当a＝0时，检验f(x)是否为增函数，当a＝0时， 1?119

f(x)＝x2＋，f?＝＋2＝，f(1)＝1＋1＝2，

x?2?441?

f??2?＞f(1)与增函数矛盾．排除A、B、C.故选D.

4

在是减函数，则的最大值是

解析：因为得

，从而的最大值为。

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(2)若函数f(x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞)单调递增，则k的取值范围是( ) A．(－∞，－2] B．(－∞，－1] C．[2，＋∞) D．[1，＋∞) 1

基本法：依题意得f′(x)＝k－≥0在(1，＋∞)

x

11

上恒成立，即k≥在(1，＋∞)上恒成立，∵x＞1，∴0＜＜1，∴k≥1，故选D.

xx

1x－1

速解法：若k＝1，则f′(x)＝1－＝在(1，＋∞)上有f′(x)＞0，f(x)＝kx－ln x为增函数．答案：D

xx

1－x

【变式2】对于R上可导的任意函数f(x)，若满足≤0，则必有( )

f′xA．f(0)＋f(2)＞2f(1) B．f(0)＋f(2)≤2f(1) C．f(0)＋f(2)＜2f(1) D．f(0)＋f(2)≥2f(1)

基本法：选A.当x＜1时，f′(x)＜0，此时函数f(x)递减，当x＞1时，f′(x)＞0，此时函数f(x)递增，∴当x＝1时，函数f(x)取得极小值同时也取得最小值，所以f(0)＞f(1)，f(2)＞f(1)，则f(0)＋f(2)＞2f(1)，故选A.

历年真题

1. （2018年全国Ⅲ卷理数）曲线

在点 所以

处的切线的斜率为

，则

________．

解析：

，则

2. （2018年浙江卷）已知λ∈R，函数f(x)=，当λ=2时，不等式f(x)<0的解集是

___________．若函数f(x)恰有2个零点，则λ的取值范围是___________．

解析：由题意得

集是时，为

。

当

时，

，由

或

，此时

，所以或，即，即在

，不等式f(x)<0的解上有两个零点；当.综上，的取值范围

在上只能有一个零点得

3 .（2018年全国Ⅱ卷理数）若A. B. C.

D.

在是减函数，则的最大值是

解析：因为，所以由得

5