空间向量教学讲义
教学内容
【新授课知识讲解】
知识要点。
1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。
注：(1)向量一般用有向线段表示?同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。
(2) 空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。
2. 空间向量的运算。
定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下(如图)
UUU UUU UUU r V UITI UUU UUU r r UUU r
OB OA AB a b : BA OA OB a b;OP a( R)
运算律：(1)加法交换律：abba
(2) 加法结合律：(a b) c a (b c)
⑶数乘分配律： (ab) a b
3. 共线向量。
(1) 如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线
向量或平行向量，a平行于b，记作a//bo
当我们说向量a、b共线(或a//b )时，表示a、b的有向线段所在的直线可能是同 一直线，也可能是平行直线。
(2) 共线向量定理：空间任意两个向量a、b ( b羊0) , a//b存在实数入使a二xb。
4. 共面向量
(1)定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。 说明：空间任意的两向量都是共面的。
(2)共面向量定理：如果两个向量a,b不共线，p与向量a,b共面的条件是存在实数
X, y 使 p xa yb o
5. 空间向量基本定理：如果三个向量a,b,c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个
r
唯一的有序实数组x, y,z，使p xa yb zc。
若三向量a,b,c不共面，我们把｛a,b,C｝叫做空间的一个基底，比b,c叫做基向量，空
间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。
推论：设O,代B,C是不共面的四点，则对空间任一点
uuu uuu uuu uuur
x, y, z，使 OP xOA yOB zOC。
P，都存在唯一的三个有序实数
6. 空间向量的直角坐标系：
(D空间直角坐标系中的坐标：
在空间直角坐标系O xyz中，对空间任一点A，存在唯一的有序实数组(x, y,z)，使
OAxiyizk，有序实数组(x, y,z)叫作向量A在空间直角坐标系O xyz中的坐标，记作A (x, y, z)，x叫横坐标，y叫纵坐标，z叫竖坐标。
(2) 若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位正交基底，用 r r r ｛i, j, k｝表示。
(3) 空间向量的直角坐标运算律：
r ①
b3) ? 贝 Va
r
r
若 a (a.,a2,a3) ,b (b?b2,
a3 b3)
空间向量讲义
