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二次函数知识点及解题方法总结
一、二次函数概念：
1．二次函数的概念：一般地，形如2
yaxbxc（a，b，c是常数，a0）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a0，而b，c可以为零．二次函数的定义域 是全体实数．
2.二次函数
2
yaxbxc的结构特征：
⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2． ⑵a，b，c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． 二、二次函数的基本形式
1.二次函数基本形式：
yax的性质：a的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2
a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质
a向上0，0y轴
0
a向下0，0y轴
0
x0时，y随x的增大而增大；x0时，y随x的 增大而减小；x0时，y有最小值0．
x0时，y随x的增大而减小；x0时，y随x的 增大而增大；x0时，y有最大值0．
2
2. yaxc的性质：上加下减。 a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质
a向上0，cy轴
0
a向下0，cy轴
0
2
3. yaxh的性质：左加右减。 a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质
a0向上h，0X=h
a向下h，0X=h
0
xh时，y随x的增大而增大；xh时，y随x的 增大而减小；xh时，y有最小值0．
xh时，y随x的增大而减小；xh时，y随x的 增大而增大；xh时，y有最大值0．
x0时，y随x的增大而增大；x0时，y随x的 增大而减小；x0时，y有最小值c．
x0时，y随x的增大而减小；x0时，y随x的 增大而增大；x0时，y有最大值c．
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3. 2
yaxhk的性质：
a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质
a向上h，kX=h
xh时，y随x的增大而增大；xh时，y随x的 0 增大而减小；xh时，y有最小值k．
a向下h，kX=h
xh时，y随x的增大而减小；xh时，y随x的 0
增大而增大；xh时，y有最大值k．
三、二次函数图象的平移
4.平移步骤：
方法一：①将抛物线解析式转化成顶点式
2
yaxhk，确定其顶点坐标h，k；②保持抛物线
2
yax的形状不变，将其顶点平移到h，k处，具体平移方法如下：
y=ax2
y=ax2
+k
向上(k>0)【或向下(k<0)】平移|k|个单位
向右(h>0)【或左(h<0)】 向右(h>0)【或左(h<0)】 平移|k|个单位 向右平移|k|个单位
(h<0)(h>0)】
【或左平移|k|个单位
向上(k>0)【或下(k<0)】 平移|k|个单位
y=a(x-h)2
向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单 y=a(x-h)2位
+k 方法二：
2沿y轴平移:向上（下）平移m个单位，yax2
bxc变成yax2
bxcm ①yaxbxc
2）：②yax2
bxc沿轴平移：向左（右）平移m个单位，yax2
bxc （或yaxbxcm
2（或ya(xm)2
b(xm)c） 变成ya(xm)b(xm)c
5.平移规律：在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．概括成八个字“左
加右减，上加下减”．
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四、二次函数 从解析式上看，
22 b4acb 2a4a
2
yaxhk与
2
yaxhk与
2
yaxbxc的比较
2
yaxbxc是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前
2
者，即yax
b4acb ，其中
h，k．
2a4a
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五、二次函数
2
yaxbxc图象的画法
2
yaxbxc化为顶点式
2
ya(xh)k，确定其开口方向、
五点绘图法：利用配方法将二次函数
对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点0，c、以及0，c关于对称轴对称的点2h，c、与x轴的交点x1，0，x2，0（若与x轴 没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.
画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点.
六、二次函数
2
yaxbxc的性质
4.当a0时，抛物线开口向上，对称轴为
x
b
2
b4acb x b 2a
，顶点坐标为 ，．当 2a
时，y 2a4a
b
b 4acb 2a
时，y随x的增大而增大；当x 2a
时，y有最小值
4a
随x的增大而减小；当．
x
5.当a0时，抛物线开口向下，对称轴为
x
b
2
b4acb x b 2a
，顶点坐标为 ，．当 2a
时，y 2a4a
b
b
4acb 2a
时，y随x的增大而减小；当x 2a
时，y有最大值 4a
随x的增大而增大；当．
x
七、二次函数解析式的表示方法
6.一般式： 2
yaxbxc（a，b，c为常数，a0）；
7.顶点式： 2
ya(xh)k（a，h，k为常数，a0）；
8.两根式：
yaxxxx（a0，x1，x2是抛物线与x轴两交点的横坐标）.
()()
12
注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点
式，只有抛物线与x
轴有交点，即 240
析式的这三种形式可以互化.
bac时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解
八、二次函数的图象与各项系数之间的关系
1.二次项系数a
二次函数 2
yaxbxc中，a作为二次项系数，显然a0．
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二次函数知识点和解题方法总结
