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点拨：
当x2的系数是参数时，首先对它是否为零进行讨论，确定其是一次不等式还是二次不等式，即对m≠0与m＝0进行讨论，这是第一层次；第二层次：x2的系数正负(不等号方向)
1
的不确定性，对m＜0与m＞0进行讨论；第三层次：与1大小的不确定性，对m＜1、m
m＞1与m＝1进行讨论.
解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax(a∈R).
解：不等式整理为ax2＋(a－2)x－2≥0， 当a＝0时，解集为(－∞，－1].
2
当a≠0时，ax2＋(a－2)x－2＝0的两根为－1，，所以当a＞0时，
a2
，＋∞?； 解集为(－∞，－1]∪??a?2?当－2＜a＜0时，解集为??a，－1?； 当a＝－2时，解集为{x|x＝－1}； 2－1，?. 当a＜－2时，解集为?a??
类型五 分式不等式的解法
x－1
(1)解不等式≤1.
2x＋1
x－1x－1－x－2x＋2解：≤1 ? －1≤0 ? ≤0 ? ≥0.
2x＋12x＋12x＋12x＋1
?（x＋2）（2x＋1）≥0，?x＋2
≥0 ? ? 2x＋1?2x＋1≠0.?
1
得{xx＞－或x≤－2}.
2
x－2
※(2)不等式2＞0的解集是 .
x＋3x＋2
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x－2x－2
解：2＞0?＞0?
x＋3x＋2（x＋2）（x＋1）(x－2)(x＋2)(x＋1)＞0，
数轴标根得{x|－2＜x＜－1或x＞2}， 故填{x|－2＜x＜－1或x＞2}. 点拨：
分式不等式可以先转化为简单的高次不等式，再利用数轴标根法写出不等式的解集，如果该不等式有等号，则要注意分式的分母不能为零.※用“数轴标根法”解不等式的步骤：(1)移项：使得右端为0(注意：一定要保证x的最高次幂的项的系数为正数).(2)求根：就是求出不等式所对应的方程的所有根..(3)标根：在数轴上按从左到右(由小到大)依次标出各根(不需标出准确位置，只需标出相对位置即可).(4)画穿根线：从数轴“最右根”的右上方向左下方画线，穿过此根，再往左上方穿过“次右根”，一上一下依次穿过各根,“奇穿偶不穿”来记忆.(5)写出不等式的解集：若不等号为“＞”，则取数轴上方穿根线以内的范围；若不等号为“＜”，则取数轴下方穿根线以内的范围；若不等式中含有“＝”号，写解集时要考虑分母不能为零.
?x－2? (1)若集合A＝{x|－1≤2x＋1≤3}，B＝?x|≤0?，则A∩B＝( )
x??
A.{x|－1≤x＜0} C.{x|0≤x≤2}
B.{x|0＜x≤1} D.{x|0≤x≤1}
??x（x－2）≤0，
解：易知A＝{x|－1≤x≤1}，B集合就是不等式组? 的解集，求出B＝
??x≠0
{x|0＜x≤2}，所以A∩B＝{x|0＜x≤1}.故选B.
x－1
(2)不等式≤0的解集为( )
2x＋111
－，1? B.?－，1? A.??2??2?
11
－∞，－?∪[1，＋∞) D.?－∞，－?∪[1，＋∞) C.?2?2???
??（x－1）（2x＋1）≤0，x－1解：≤0??
2x＋1?2x＋1≠0?
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1
得－ 2 类型六 和一元二次不等式有关的恒成立问题 1 0，?成立，则a的最小值为( ) (1)若不等式x2＋ax＋1≥0对于一切x∈??2?5 A.0 B.－2 C.－ D.－3 2 10，?， 解：不等式可化为ax≥－x2－1，由于x∈??2?111 x＋?.∵f(x)＝x＋在?0，?上是减函数， ∴a≥－?x?2??x?1－x－?∴?x?? (2)已知对于任意的a∈[－1，1]，函数f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a的值总大于0，则x的取值范围是( ) A.1＜x＜3 C.1＜x＜2 B.x＜1或x＞3 D.x＜1或x＞2 55 ＝－.∴a≥－. 22max 解：记g(a)＝(x－2)a＋x2－4x＋4，a∈[－1，1]， 2 ??g（1）＞0，??x－3x＋2＞0， 依题意，只须???2?x＜1或x＞3，故选B. ?g（－1）＞0??x－5x＋6＞0? 点拨： 对于参数变化的情形，大多利用参变量转换法，即参数转换为变量；变量转换为参数，把关于x的二次不等式转换为关于a的一次不等式，化繁为简，然后再利用一次函数的单调性，求出x的取值范围. 对于满足|a|≤2的所有实数a，求使不等式x2＋ax＋1＞2x＋a成立的x的取值 范围. 解：原不等式转化为(x－1)a＋x2－2x＋1＞0，设f(a)＝(x－1)a＋x2－2x＋1，则f(a)在[－ 2 ????f（－2）＞0，?x－4x＋3＞0，?x＞3或x＜1，??2，2]上恒大于0，故有： 即2 解得? ?f（2）＞0?x－1＞0?x＞1或x＜－1.??? ∴x＜－1或x＞3. 学习必备 欢迎下载 类型七 二次方程根的讨论 若方程2ax2－x－1＝0在(0，1)内有且仅有一解，则a的取值范围是( ) A.a<－1 B.a>1 C.－1 解法一：令f(x)＝2ax2－x－1，则f(0)·f(1)＜0，即－1×(2a－2)＜0，解得a＞1. 解法二：当a＝0时，x＝－1，不合题意，故排除C，D；当a＝－2时，方程可化为4x2 ＋x＋1＝0，而Δ＝1－16＜0，无实根，故a＝－2不适合，排除A.故选B. x－21.不等式≤0的解集是( ) x＋1A.(－∞，－1)∪(－1，2] C.(－∞，－1)∪[2，＋∞) B.[－1，2] D.(－1，2] x－2解：≤0?(x＋1)(x－2)≤0，且x≠－1，即x∈(－1，2]，故选D. x＋1 ?1? 2.关于x的不等式(mx－1)(x－2)＞0，若此不等式的解集为?x|m＜x＜2?，则m的取值范 ? ? 围是( ) A.m＞0 1C.m＞ 2 B.0＜m＜2 D.m<0 解：由不等式的解集形式知m＜0.故选D. 1?? 3.(2013·安徽)已知一元二次不等式f(x)<0的解集为?x|x<－1或x>2?，则f(10x)>0的解集 ? ? 为( ) A.{x|x<－1或x>lg2} B.{x|－1 D.{x|x<－lg2} 111x－?(a<0)，由f(10x)>0可得(10x＋1)?10x－?<0，从而10x<，解：可设f(x)＝a(x＋1)?2??2??2解得x<－lg2，故选D. 学习必备 欢迎下载 4.(2013·陕西)在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 m2的内接矩形花园(阴影部分)， 则其边长x(单位：m)的取值范围是( ) A.[15，20] C.[10，30] B.[12，25] D.[20，30] x40－y 解：设矩形的另一边为y m，依题意得＝，即y＝40－x， 4040所以x(40－x)≥300，解得10≤x≤30.故选C. 5.若关于x的不等式2x2－8x－4－a>0在(1，4)内有解，则实数a的取值范围是( ) A.a<－12 C.a>－12 B.a>－4 D.a<－4 解：关于x的不等式2x2－8x－4－a＞0在(1，4)内有解，即a＜2x2－8x－4在(1，4)内有解，令f(x)＝2x2－8x－4＝2(x－2)2－12，当x＝2时，f(x)取最小值f(2)＝－12；当x＝4时，f(4)＝2(4－2)2－12＝－4，所以在(1，4)上，－12≤f(x)＜－4.要使a＜f(x)有解，则a＜－4.故选D. 6.若不等式x2－kx＋k－1>0对x∈(1，2)恒成立，则实数k的取值范围是____________. 解：∵x∈(1，2)，∴x－1>0.则x2－kx＋k－1＝(x－1)(x＋1－k)>0，等价于x＋1－k>0，即k 7.(2014·江苏)已知函数f(x)＝x2＋mx－1，若对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)＜0成 立，则实数m的取值范围是________. 2 ??f（m）＝2m－1＜0， 解：由题可得f(x)＜0对于x∈[m，m＋1]恒成立，即? 解得2 ?f（m＋1）＝2m＋3m＜0，? － 2?2?＜m＜0.故填－，0. 2?2? 8.若关于x的不等式x2－ax－a≤－3的解集不是空集，求实数a的取值范围. 解：x2－ax－a≤－3的解集不是空集?x2－ax－a＋3＝0的判别式Δ≥0，解得a≤－6 或a≥2.
一元二次不等式及其解法知识梳理及典型练习题（含答案）
