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一元二次不等式及其解法
1.一元一次不等式解法
任何一个一元一次不等式经过不等式的同解变形后，都可以化为ax＞b(a≠0)的形式. 当a＞0时，解集为 ；当a＜0时，解集为 . 2.一元二次不等式及其解法
(1)我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为__________不等式.
(2)使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个一元二次不等式的解，一元二次不等式所有的解组成的集合叫做一元二次不等式的________.
(3)一元二次不等式的解：
函数与不等式 二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象 一元二次方程 有两相异实根 ax2＋bx＋c＝0 x1，x2(x1＜x2) (a＞0)的根 ax2＋bx＋c＞0 ① (a＞0)的解集 ax2＋bx＋c＜0 {x|x1＜x＜x2} (a＞0)的解集 3.分式不等式解法 f（x）
(1)化分式不等式为标准型.方法：移项，通分，右边化为0，左边化为的形式.
g（x）(2)将分式不等式转化为整式不等式求解，如：
? ③ ② R Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 有两相等实根 bx1＝x2＝－ 2a无实根 学习必备 欢迎下载
f（x）f（x）
＞0 ? f(x)g(x)＞0； ＜0 ? f(x)g(x)＜0； g（x）g（x）
???f（x）g（x）≥0，?f（x）g（x）≤0，f（x）f（x）
?≥0 ? ≤0 ? ?
g（x）g（x）?g（x）≠0；?g（x）≠0.??
(2014·课标Ⅰ)已知集合A＝{x|x2－2x－3≥0}，B＝{x|－2≤x＜2}，则A∩B＝( ) A.[－2，－1] C.[－1，1]
B.[－1，2) D.[1，2)
解：∵A＝{x|x≥3或x≤－1}，B＝{x|－2≤x＜2}，∴A∩B＝{x|－2≤x≤－1}＝[－2，－1].故选A.
设f(x)＝x2＋bx＋1且f(－1)＝f(3)，则f(x)>0的解集为( ) A.{x|x∈R} C.{x|x≥1}
B.{x|x≠1，x∈R} D.{x|x≤1}
解：f(－1)＝1－b＋1＝2－b，f(3)＝9＋3b＋1＝10＋3b， 由f(－1)＝f(3)，得2－b＝10＋3b，
解出b＝－2，代入原函数，f(x)>0即x2－2x＋1>0，x的取值范围是x≠1.故选B. 11
已知－<<2，则x的取值范围是( )
2x11
A.－2 221 C.x<－或x>2 2 1 D.x<－2或x> 2 1 解：当x>0时，x>；当x<0时，x<－2. 21 所以x的取值范围是x<－2或x>，故选D. 21－2x 不等式＞0的解集是 . x＋11－2x 解：不等式>0等价于(1－2x)(x＋1)＞0， x＋1 学习必备 欢迎下载 11x－?(x＋1)＜0，所以－1＜x＜. 也就是??2?21?? 故填?x|－1＜x＜2，x∈R?. ? ? 3 武汉调研)若一元二次不等式2kx2＋kx－＜0对一切实数x都成立，则k的取 (2014· 8 值范围为________. 33 解：显然k≠0.若k＞0，则只须(2x2＋x)max＜，解得k∈?；若k＜0，则只须＜(2x2 8k8k＋x)min，解得k∈(－3，0).故k的取值范围是(－3，0).故填(－3，0). 类型一 一元一次不等式的解法 1 －∞，－?， 已知关于x的不等式(a＋b)x＋2a－3b＜0的解集为?3?求关于x的不? 等式(a－3b)x＋b－2a＞0的解集. 1 －∞，－?， 解：由(a＋b)x＜3b－2a的解集为?3??3b－2a1 得a＋b＞0，且＝－， 3a＋b 从而a＝2b，则a＋b＝3b＞0，即b＞0， 将a＝2b代入(a－3b)x＋b－2a＞0， 得－bx－3b＞0，x＜－3，故所求解集为(－∞，－3). 点拨： 一般地，一元一次不等式都可以化为ax＞b(a≠0)的形式.挖掘隐含条件a＋b＞0且3b－2a1 ＝－是解本题的关键. 3a＋b 解关于x的不等式：(m2－4)x＜m＋2. 解：(1)当m2－4＝0即m＝－2或m＝2时， ①当m＝－2时，原不等式的解集为?，不符合 学习必备 欢迎下载 ②当m＝2时，原不等式的解集为R,符合 1 (2)当m2－4＞0即m＜－2或m＞2时，x＜. m－21 (3)当m2－4＜0即－2＜m＜2时，x＞. m－2 类型二 一元二次不等式的解法 解下列不等式： (1)x2－7x＋12＞0; (2)－x2－2x＋3≥0； (3)x2－2x＋1＜0; (4)x2－2x＋2＞0. 解：(1){x|x＜3或x＞4}. (2){x|－3≤x≤1}. (3)?. (4)因为Δ＜0，可得原不等式的解集为R. ??－x＋1，x＜0， (2013·金华十校联考)已知函数f(x)＝? 则不等式x＋(x＋1)f(x ?x－1，x≥0，? ＋1)≤1的解集是( ) A.{x|－1≤x≤2－1} B.{x|x≤1} C.{x|x≤2－1} D.{x|－2－1≤x≤2－1} 解：由题意得不等式x＋(x＋1)f(x＋1)≤1等价于① ?x＋1＜0，? ? 或 ?x＋（x＋1）[－（x＋1）＋1]≤1? ??x＋1≥0，②? ?x＋（x＋1）[（x＋1）－1]≤1，? 解不等式组①得x＜－1；解不等式组②得－1≤x≤2－1. 故原不等式的解集是{x|x≤2－1}.故选C. 类型三 二次不等式、二次函数及二次方程的关系 已知关于x的不等式x2－bx＋c≤0的解集是{x|－5≤x≤1}，求实数b，c的值. 解：∵不等式x2－bx＋c≤0的解集是{x|－5≤x≤1}， 学习必备 欢迎下载 ∴x1＝－5，x2＝1是x2－bx＋c＝0的两个实数根， ??－5＋1＝b，??b＝－4， ∴由韦达定理知?∴? ??－5×1＝c，c＝－5.?? 已知不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|2＜x＜3}，求不等式cx2－bx＋a＞0的 解集. 解：∵不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|2＜x＜3}， ∴a＜0，且2和3是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，由根与系数的关系得 ? ?c?a＝2×3，??a＜0. b －＝2＋3，a b＝－5a，?? 即?c＝6a， ??a＜0. 代入不等式cx2－bx＋a＞0，得6ax2＋5ax＋a>0(a＜0). 即6x2＋5x＋1＜0， 11?? ∴所求不等式的解集为?x|－2＜x＜－3?. ? ? 类型四 含有参数的一元二次不等式 解关于x的不等式：mx2－(m＋1)x＋1＜0. 解：(1)m＝0时，不等式为－(x－1)＜0，得x－1＞0，不等式的解集为{x|x＞1}； 1 x－?(x－1)＜0. (2)当m≠0时，不等式为m??m?1 x－?(x－1)＞0， ①当m＜0，不等式为??m?11?? ∵＜1，∴不等式的解集为?x|x＜m或x＞1?. m??1 x－?(x－1)＜0. ②当m＞0，不等式为??m?1?1? (Ⅰ)若＜1即m＞1时，不等式的解集为?x|m＜x＜1?； m??1?1? (Ⅱ)若＞1即0＜m＜1时，不等式的解集为?x|1＜x＜m?； m??1 (Ⅲ)若＝1即m＝1时，不等式的解集为?. m
一元二次不等式及其解法知识梳理及典型练习题（含答案）
