现代数字信号处理复习题
一、填空题
1、平稳随机信号是指：概率分布不随时间推移而变化的随机信号，也就是说，平稳随机信号的统计特性与起始
时间无关，只与时间间隔有关。
判断随机信号是否广义平稳的三个条件是：
（1）x(t)的均值为与时间无关的常数：mx(t)?C （C为常数） ；
（2）x(t)的自相关函数与起始时间无关，即：Rx(ti,tj)?Rx(ti,ti??)?Rx(?)；
（3）信号的瞬时功率有限，即：Dx?Rx(0)??。
高斯白噪声信号是指：噪声的概率密度函数满足正态分布统计特性，同时其功率谱密度函数是常数的一类噪
声信号。
信号的遍历性是指：从随机过程中得到的任一样本函数,好象经历了随机过程的所有可能状态,因此,用一个
样本函数的时间平均就可以代替它的集合平均 。
广义遍历信号x(n)的时间均值的定义为： ，其时间自相关函数的定义为： 。
2、连续随机信号f(t)在区间上的能量E定义为：
其功率P定义为：
离散随机信号f(n)在区间
上的能量E定义为：
其功率P定义为：
注意:(1)如果信号的能量0 3、因果系统是指：对于线性时不变系统，如果它在任意时刻的输出只取决于现在时刻和过去时刻的输入，而与 将来时刻的输入无关，则该系统称为因果系统。 4、对平稳随机信号，其自相关函数为Rx(?)，自协方差函数为Cx(?)， （1）当??0时，有：Rx(?)=Dx ，Cx(?)＝?x。 2（2）当???时，有：Rx(?)=mx ，Cx(?)＝0。 2第1页，共7页 5、由Wold分解定理推论可知，任何AR或ARMA序列均可用 无限阶的惟一MA模型MA(∞) 来表示。 6、经典功率谱估计的方法主要有 周期图法(直接法) 和 相关图法(间接法) 两大类。对经典谱估计方法 的改进措施主要有: (1)经典谱估计性能分析；(2)Bartlett法谱估计；(3)Welch法谱估计 。 7、设计维纳滤波器时使用的正交性原理是指： 在最小均方误差（MMSE）准则下，误差e(n)与每一个输 入样本x(n-k)都是正交的 。 8、在训练自适应滤波器时，收敛速度与学习率及输入信号的自相关矩阵的最小特征值取值有关。学习率越 大，收敛速度越 快 ；最小特征值越小，收敛速度越 慢 。 ?(?)保证真实谱S(?)中两个靠得很近的谱峰仍然能被分辨出来的能力 ，9、谱估计的分辨率是指 估计值S在经典谱估计中，决定谱估计分辨率的主要因素是 窗函数的主瓣宽度。 注意：主瓣越宽，分辨率越低。 二、问答题 1、什么叫能量信号？什么叫功率信号？ 答：（1）如果信号的能量0 （2）对于线性时不变系统，如果它在任意时刻的输出只取决于现在时刻和过去时刻的输入，而与将来时刻 的输入无关，则该系统称为因果系统。 注意：因果系统是指当且仅当输入信号激励系统时，才会出现输出响应的系统。也就是说，因果系统的响应 不会出现在输入信号激励系统的以前时刻。 3、如何判断一个线性时不变系统是稳定的？ 答：一个线性时不变系统是稳定的充要条件： n?????h(n)?? ? （1）充分性：如果 n????h(n)??成立，对?有界的输入，输出也是有界的； n??? （2）必要性：如果系统稳定， ?h(n)??成立。 ? 4、对于连续时间信号和离散时间信号，试写出相应的维纳－辛欣定理的主要内容。 答：(1)连续时间信号相应的维纳－辛欣定理主要内容： 连续时间信号的功率谱密度与其自相关函数满足如下关系：Sx(?)??Rx(?)e?j??d??F(Rx(?)) ???Rx(?)?(2)离散时间信号相应的维纳－辛欣定理主要内容： 离散时间信号的功率谱密度与其自相关函数满足如下关系：Sx(e)?j?12?????Sx(?)ej??d? m????R(m)ex??j?m Rx(m)?5、试列举出随机信号的功率谱密度函数的三条性质。 答： 第2页，共7页 12?????Sx(ej?)ej?md? 6、什么是估计的偏差？什么叫无偏估计？什么叫渐进无偏估计？ ?)?a，则称a?，如果E(a?为a的答：假设估计量为a（a可以是均值、方差、自相关函数等），它的估计值为a?为有偏估计； 无偏估计，否则称a?)?a，如果估计值a?不是无偏估计，但随着样本数目的增加，其数学期望趋定义估计的偏差为：b?E(a~?)?a]?0，则称估计值a?为渐近无偏估计。 近于真实的估计量，即：lim[E(aN??7、请写出ARMA(p,q)的数学模型表达式，并画出该模型的电路框图。 答：（1）ARMA(p,q)的数学模型表达式： 式中，?1,?2,...,?p,?1,?2,...,?q为常数，?0??0?1 （2）该模型的电路框图如下所示： 第3页，共7页 8、请写出AR(p)的数学模型表达式，并画出该模型的电路框图。 答：（1）AR(p)的数学模型表达式: （2）该模型的电路框图如下所示： 注意：AR(p)模型又称全极点模型。 10、请写出MA(q)的数学模型表达式，并画出该模型的电路框图。 答：（1）MA(q)的数学模型表达式: （2）该模型的电路框图如下所示： 注意：MA(q)模型又称全零点模型。 11、什么是谱估计的分辨率？在经典谱估计中，决定其分辨率的主要因素是什么？ ?(?)保证真实谱S(?)中两个靠得很近的谱峰仍然能被分辨出来的能力，答：谱估计的分辨率是指估计值S在经典谱估计中，决定谱估计分辨率的主要因素是窗函数的主瓣宽度,主瓣越宽，分辨率越低。 12、BT谱估计的理论根据是什么？请写出此方法的具体步骤。 答：（1）相关图法又称BT法，BT谱估计的理论根据是：通过改善对相关函数的估计方法，来对周期图进行平 滑处理以改善周期图谱估计的方差性能。 （2）此方法的具体步骤是： ①给出观察序列x(0),x(1),...,x(N?1)，估计出自相关函数： ?(m)?1RNN?1?m?x(n)x(n?m)，?N?1?m?N?1 n?0?j?m?R(m)?(m)e ?M②对自相关函数在（-M，M）内作Fourier变换，得到功率谱： ?(?)?Sm??M式中，一般取m?N?1，?(m)为一个窗函数，通常可取矩形窗。 可见，该窗函数的选择会影响到谱估计的分辨率。 13、AR谱估计的基本原理是什么？与经典谱估计方法相比，其有什么特点？ 答：（1）AR谱估计的基本原理是： 第4页，共7页 p阶的AR模型表示为：x(n)????x(n?i)?u(n) ii?1p 其自相关函数满足以下YW方程： 取m?0,1,2,...,p，可得到如下矩阵方程： ?(m)，再利用以上矩阵方程，直 在实际计算中，已知长度为N的序列x(n)，可以估计其自相关函数Rx接求出参数?1,?2,...,?p及?，于是可求出x(n)的功率谱的估计值。 （2）与经典谱估计方法相比，其有以下特点： 14、Burg算法有什么特点？ 2 Rx(1)?Rx(0)?R(1)Rx(0)?x?????Rx(p)Rx(p?1)Rx(p)??1???2???????Rx(p?1)???1???0????????????????Rx(0)???0????p?????(n),而是从数据x(n)直接求解； 答：(1)不需要估计自相关函数Rm(2)比自相关函数法有更好的分辨率，但会出现“谱线分裂”的现象，对于高阶模型可能产生虚假的峰值； (3)对于短序列（N较小），Burg算法的性能不亚于LD算法的性能，N较大时，两者性能相当； (4)Burg算法估计的参数满足?i?1，i?1，2，...，p，即求出的AR模型总是稳定的； 第5页，共7页
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