高中数学第一章解三角形1.1.2.1余弦定理1练习含解析
新人教A版必修50819328
知识点一 已知两边及其夹角解三角形
1．在△ABC中，已知a＝1，b＝2，C＝60°，则边c等于( ) A．3 B．2 C．3 D．4 答案 A
解析 由余弦定理，得c＝a＋b－2abcosC＝1＋4－2×1×2×cos60°＝1＋4－1
2×1×2×＝3，∴c＝3．
2
2．在△ABC中，若a＝8，B＝60°，c＝4(3＋1)，则b＝________． 答案 46
解析 由余弦定理，得
2
2
2
b2＝a2＋c2－2accosB＝82＋[4(3＋1)]2－2×8×4(3＋1)×cos60°＝64＋16(4＋23)
1
－64(3＋1)×＝96，∴b＝46．
2
知识点二 已知两边及一边对角解三角形
3．在△ABC中，若a＝3，c＝7，∠C＝60°，则边长b为( ) A．5 B．8 C．5或－8 D．－5或8 答案 B
解析 由余弦定理，得c＝a＋b－2abcosC，∴49＝9＋b－3b?(b－8)(b＋5)＝0．∵b＞0，∴b＝8．故选B．
4．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝2，c＝23，cosA＝且b＜c，则b＝( )
A．3 B．2 C．22 D．3 答案 B
解析 由余弦定理a＝b＋c－2bccosA，得
2
2
22
2
2
2
3，2
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b2－6b＋8＝0，解得b＝2或b＝4．
∵b＜c，∴b＝2．故选B．
知识点三 已知三边解三角形
5．在△ABC中，a＝3，b＝7，c＝2，那么B等于( ) A．30° B．45° C．60° D．120° 答案 C
a2＋c2－b29＋4－71
解析 由余弦定理，得cosB＝＝＝，∴B＝60°．
2ac122
6．在△ABC中，已知a＝7，b＝3，c＝5，求最大角和sinC． 解 由题意可知，a＞c＞b，
9＋25－491
∴A为最大角，cosA＝＝－，
2×3×522π
又∵A为△ABC的内角，∴A＝．
3由正弦定理，得
c75＝，即＝， sinAsinC3sinC2
a53
∴sinC＝．
14
知识点四 余弦定理的推论
7．在不等边三角形中，a是最大的边，若a＜b＋c，则角A的取值范围是( )
2
2
2
?π??ππ?A．?，π? B．?，? ?2??42??ππ??π?C．?，? D．?0，?
2??32??
答案 C
π
解析 ∵a是最大的边，∴A＞．
3
b2＋c2－a2
∵a＜b＋c，∴cosA＝＞0．
2bc2
2
2
πππ
∴A＜，故＜A＜．故选C．
232
8．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若(a＋c－b)tanB＝3ac，则角B
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2
2
2
的值为( )
πA．
6
πB．
3
π5ππ2πC．或 D．或
6633答案 D
a2＋c2－b233解析 依题意，得·tanB＝，所以由余弦定理，得cosBtanB＝，
2ac22
∴sinB＝
易错点一 忽视三角形中边的隐含关系
9．在钝角三角形ABC中，a＝1，b＝2，求最大边c的取值范围． 易错分析 易忽略两边之和大于第三边即c＜3，错解为c∈(5，＋∞)． 解 ∵在钝角三角形ABC中，c为最大边， ∴cosC＜0，即a＋b－c＜0． ∴c＞a＋b＝5，∴c＞5． 又c＜b＋a＝3，∴5＜c＜3， 即c的取值范围是(5，3)．
易错点二 运算时定理选错 10． 如图，在梯形ABCD中，CD＝2，AC＝19，∠BAD＝60°，求梯形的高．
2
2
2
2
2
2
3π2π
，∴B＝或B＝．故选D． 233
易错分析 本题易选用正弦定理致计算冗杂出错，审清题干条件通过余弦定理建立方程是余弦定理的一个妙用．
解 由∠BAD＝60°，得∠ADC＝120°， 在△ACD中，由余弦定理，得
AC2＝AD2＋CD2－2AD×CD×cos∠ADC，
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