第三章 数值模拟理论与方法
§3.1 流体力学的基本方程
流体运动所遵循的规律是由物理学三大守恒定律规定的，即质量守恒定律，动量守恒定律和能量守恒定律[44]。 （一）连续方程
??? ??(?v)?0 （3.1）
?t式中 ρ－流体密度 u－流体速度分量
（二）动量方程（x方向）
?对于不可压流体（即?v?0）
?(?u)?p? ??(?v?u)??(???v)??fx? （3.2）
?x?x式中 γ－运动粘性系数 p－压力
对于可压缩流体
???u?1??p?? ???v?u???????u????????v???fx? （3.3）
?x3?x?x 式中等号后前两项是粘性力
y，z方向上的动量方程可类似推出。 （三）能量方程
????e?????v?e????k??T??q??v （3.4） ?t其中 e?CvT
式中等号左边第一项是瞬变项，第二项是对流项，等号右边第一项是扩散项，第二、三项是源项。
所以，流体力学基本方程组为：
???????v??0 ?t?u?p? ???fv?u???(???u)??fx??t?x?v?p????fv?v???????v???fy? （3.5） ?t?y?w?p? ???fv?w???????w???fw??t?w?k??????e????fv?e?????e???q??v ?tc?v?§3.2 紊流模式理论概况
§3.2.1 基本方程
在自然界中，真实的流体都具有粘性。粘性流体存在两种不同的运动方式和流态，即层流和紊流。而在自然界和工农业生产中所遇见的流体流动大部分都是紊流。
三维的N-S方程是目前描述粘性流体运动较为理想的模型，其优点一是应用范围广，在空气、水流、传热等方面均用N-S方程描述；二是对于有分离、旋涡等情况的复杂三维流动更为适用。
三维直角坐标下的N-S方程[45]，[46]，即不可压缩粘性流体的动量方程式为：
??????????????Du?p?2u?2u?2u??Fx???(2?2?2)Dt?x?x?y?zDv?p?2v?2v?2v??Fy???(2?2?2) （3.6） Dt?y?x?y?zDw?p?2w?2w?2w??Fz???(2?2?2)Dt?z?x?y?z不可压缩流体的连续性方程为： ?u?v?w ? 0 （3.7） ? ??x?y?z式（3.6）和（3.7）共有四个未知数（u、v、w、p）和四个方程，加上边界条件，从理论上来讲其解是存在的。但是，要直接求解复杂而详细的粘性流体运动是十分复杂和困难的。其原因是：直接求解N-S方程要求求解从反映消散运动的最小涡漩尺度到反映大尺度涡体的所有流动尺度，因而只有对简单情况下才有理论解。
§3.2.2 三维N-S方程
N-S方程模型的流动计算可分为三种方法： 1.直接模拟法（Direct Numerical Simulation，DNS）
除稀薄气体等极端条件外，紊流的最小长度尺度远远大于分子运动的长度尺度，故紊流可以作为连续体运动处理。
从原理上讲，可以用三维非定常的N-S方程对紊流进行直接计算。这种直接计算不需要紊流模型化，可像层流那样进行数值计算。但是，现实的高雷诺数紊流中，由于其最小尺度很小，若要对最小尺度的紊流进行直接计算，就需要很多的计算时间和庞大的计算机容量。这远远超过现有的计算机能力。当前直接计算法只能用于对低雷诺数紊流进行直接计算，并且用新型巨型向量计算机可取数十万个网格点，但也只能捕捉到较大的紊流涡，网格的网目捕捉不到小涡，从而得到的仅是关于大涡结构的大体结果。
将来，即使可能进行精确的直接计算，但为了获得有意义的信息，也必须对大量的计算结果进行统计处理。
2.大涡模拟法（Large Eddy Simulation，LES）
依照紊流的旋涡理论，紊流的脉动与混合主要是有大尺度的涡造成的。大涡从主流中获取能量，分裂后将能量传到较小的涡。大涡的运动为各向异性，随流动情况而不同。小涡主要是耗散能量，几乎各向同性，并且不同流动情况的小涡有许多共性。从而得出大尺度涡模拟的数值方法。即用非定常的（三维且时间相关的）N-S方程确定大涡的特性，不计算小涡。而小涡的效果有近似的模型来处理，即用大涡模拟还可以对那些被直接计算忽略掉的，比如计算网格小的涡，经模型化，进行数值模拟。该方法需要相当大的计算机内存和计算时间。
3.雷诺（Reynolds）时均方程法
将非定常的N-S方程作时间平均处理。在所得出的时均方程中包含了脉动量乘积的时均值未知数，于是方程个数少于未知数个数，如作出进一步的时均处理将出现更高阶的脉动量乘积的时均值未知数，方程不可能封闭；要是方程封闭，须作出一定的假设。这是工程上普遍采用的方法，因为工程中感兴趣的是时均量。
在三维N-S方程计算模型中，雷诺时均方程法是较常使用的一种方法。该方
程是在将紊流看成时均运动和脉动运动的基础上建立的。紊流运动的任何变参量都分解为时间平均值和脉动值，例如：ui?ui?ui'，p?p?p'等。
不可压缩粘性流体的三维N-S方程组作时均处理后的时均方程为： 连续性方程：
?ui?ui'?0, ?0 （3.8）?xi?xi动量方程（雷诺方程）：
?uj?p? ???Fj??(???ui'u'j) （3.9）
Dt?xj?xi?xi式中：??ui'u'j为二阶相关项，又称为雷诺应力，p为压力值，u为速度，x为坐标轴，i=1，2，3，j=1，2，3，分别表示x，y，z三个空间坐标，脚标在某一项中相同时，表示求和。变量上方有“-”者为时均值，变量上标有“′”者为脉动量。
显然方程（3.8）、（3.9）包含有十个未知量，而方程只有四个，方程不封闭，只是因为对N-S方程取平均，使得脉动时空的细节抹平，失去了反映流动内部的细节信息，导致了方程的不封闭。为了找回平均过程中失去的紊流流动的细节信息，科学工作者建立和引入了多种紊流模式来弥补失去的信息和封闭时均N-S方程，从而能反映紊流特性和封闭雷诺方程的模式称为紊流模型（Turbulence Model）。 §3.2.3 紊流模型
时均N-S方程中的二阶相关项，即雷诺应力项??ui'u'j是未知量，它有自己的表示式称为紊流模型。紊流模型的表示式与时均N-S方程形成封闭的方程组。
常用的紊流模型都是建立在涡粘性概念的基础上的，雷诺应力与涡粘性的关系为：
Duj??ui'u'j??t(?ui?uj ?) （3.10）
?xj?xi式中：μt为涡粘性系数。各种紊流模型都是表示紊流涡粘性系数μt的方程式。
目前已有许多的工程紊流模式，并且还在不断的发展之中，这里仅简单介绍目前工程上广泛应用的零方程紊流模型、一方程紊流模型、二方程紊流模型、雷
诺应力方程模型、代数应力紊流模型等理论及进展。
1.零方程模型
就是在运动方程和连续方程以外，不需要另外再加任何方程式来使方程组封闭。即雷诺应力能直接用某些物理量和物理常数表达出来，所以只要把雷诺应力直接代入运动方程中去，而不必另外再加上其它的补充方程式了。零方程模型中有紊流粘性模型、混合长度模型、涡量传递模型及紊动局部相似模型等。如直接用时均速度模拟二阶相关项，也称为Prandtl混合长度模型。虽然该模型简单，有一些成功的应用，但存在以下缺点：忽略了紊流的对流和扩散输送，对不同的流动要采用不同的经验系数，缺少通用性。它不适合有回流的较复杂流动，也无法处理表面曲率的影响。
2.一方程模型
为克服零方程模型的缺陷，在紊流平均运动的连续性方程和动量方程基础上，添加一个湍动能k方程以力图组成封闭方程组，而其它二阶脉动相关量均有代数方程表示。由于一方程模型中引入的修正函数是与流场和长度尺寸有关的函数，部分考虑了紊流的历史效应，既考虑了湍动能的对流项和扩散项对湍流输送过程的影响，但长度尺寸必须有经验给出，对于复杂问题其值很难确定。普遍性不高，对于复杂流动精度也不高。
3.二方程k-ε模型
它是二方程模型中应用最广的一种。它以一方程模型为基础，再增加一个ε（耗散率）为因变量的控制方程，来使方程组封闭，即用偏微分方程求解紊流的特征长度。标准的k-ε模型认为紊动粘性系数是各向同性的，它不仅考虑到紊动速度比尺的输送，而且考虑到紊动长度比尺的输送，因而能确定各种复杂水流的长度比尺分布。该模型基本形式比较简单，实际应用性广，能成功的预测许多剪切层型水流和回流，适用于各向同性或弱各向异性紊流。但是，k-ε模型也存在一些缺陷，例如，模型中的经验常数通用性尚不十分令人满意，对强旋流、浮力流、重力分层流、曲壁边界层、低Re数流动、圆管射流几种流动不适用。
4.k-ε紊流模型的修正
对k-ε紊流模型的修正主要有浮力修正法、近壁函数法、低雷诺数模型、区域
第三章-数值模拟理论与方法
