单因素方差分析的数学模型及其应用

单因素方差分析的数学模型及其应用*

田 兵

【摘 要】本文主要介绍了单因素方差分析的数学模型。同时结合实例演示了利用单因素方差分析通过R软件编程解决实际问题的过程。 【期刊名称】阴山学刊（自然科学版） 【年(卷),期】2013(027)002 【总页数】4

【关键词】单因素方差分析;模型;平方和分解;检验统计量

在日常的工作和生活中，影响一件事的因素有很多，人们希望根据各种实验来判断不同的因素对实验结果的影响。例如：不同的生产厂家、不同的原材料、不同的操作规程及不同的技术指标等对产品的质量、性能都会有影响，然而不同因素的影响大小不等。方差分析是研究一种或多种因素的变化对实验结果的观测值是否有显著影响，从而找出较优的试验条件或生产条件的一种常用数理统计的方法。

在实验中所关注的数量指标如产量、性能等称为观测值。影响观测值的条件称为因素。因素的不同状态称为水平，一个因素可以采用多个水平。在一项试验中，可以得到一系列不同的观测值。引起观测值不同的原因是多方面的。有的是因为处理方式不同或条件不同引起的，称作因素效应;有的是实验过程中偶然性因素的干扰或观测误差所导致的，称作试验误差。

方差分析的主要工作是将测量数据的总变异按照变异原因的不同分解为因素效应和试验误差，并对其作出数量分析，比较各种原因在总变异中所占的重要程度，作为统计推断的依据，由此确定进一步的工作方向

在研究实际问题时，我们通常是从最简单的情形入手。单因素方差分析是方差分析的最简单情形——影响其因素只有一个。

1 单因素方差分析的数学模型

通常假设试验只有一个因素A在发生变化，其余的因素没有变化。A有r个水平A1A2…，Ar，在水平Ai下进行ni次独立观测，得到试验指标如表1所示。 其中xij表示在因素A的第i个水平下的第j次试验的试验结果。

将水平Ai下的试验结果xi1，xi2…，xini看作是来自第i正态总体Xi～N(μi，σ2)的样本观测值，其中μi，σ2都是未知的。而且对于每个总体Xi是相互独立的，考虑线性统计模型

其中μi是第i个总体的均值，εij是相应的试验误差。

比较因素A的r个水平的差异归结为比较这r总体的均值。即检验假设 记

这里μ表示总和的均值，αi为水平Ai所对应指标的效应。因此有 上述模型又可以等价的写成

称模型(3)为单因素方差分析的数学模型，其是一种线性模型。

2 方差分析

假设(2)式等价于

H0：α1= α2= … = αr=0，H1：α1，α2，…，αr不全为零。

如果H0被拒绝，那么就说明因素A的个水平的效应之间有显著的差异;否则，差异不明显。

为了导出H0的检验统计量，方差分析法建立在平方和分解和自由度分解的基础上，考察统计量

称Sr为总离差平方和(或称为总变差)，其实全部试验数据xij与总平均值差的平方和，描述了所有观测数据的离散程度，可以证明如下的平方和分解公式： 其中

这里SE是代表随机误差的影响。这是因为对于固定的i来讲，观测值xi1，xi2，…，xini是来自同一个正态总体N(μi，σ2)的样本，因此，它们之间的差异是有随机误差多引起的。而是这ni个数据的变动平方和，正是它们差异大小的度量。将r组这样的变动平方和相加，就得到了SE，一般称SE为误差平方或组内平方。

SA表示在Ai水平下的样本均值和总平均值之间的差异之和，它反映了r个总体均值之间的差异，因为是第i个总体的样本均值，是μi的估计，因此r个总体均值μ1，μ2，…，μr之间的差异越大，这些样本均值，…，之间的差异也就越大。平方和正是这种差异大小的度量，这里ni反映了第i个总体样本大小在平方和SA中的作用，称SA为因素A的效应平方和或组间平方和。

式(4)表明，总平方和ST可按其来源分解成两部分，一部分是误差平方和SE，是由随机误差所致;另一部分是因素A的平方和SA，是由因素A的各水平的差异一起的。

由模型假设(2)经过统计分析可以得到E(SE)=(n－r)σ2，即SE/(n－r)是σ2的一个无偏估计，且

如果原假设H0成立，则有，即此时SA/(r－1)也是的无偏估计，且 并且SA与SE相互独立，因此当H0成立时有

于是F可以作为H0的检验统计量，对给定的显著性水平α，用Fα(r－1，n－r)表示F分布的上α分为点。若F＞Fα(r－1，n－r)，则拒绝原假设，认为因素