数学《集合与常用逻辑用语》期末复习知识要点
一、选择题
x2y21．“方程??1的曲线是椭圆”的一个必要不充分条件是（ ）
7?mm?5A．“m?6” C．“5?m?7” 【答案】C 【解析】 【分析】
由椭圆的定义可列出m满足的不等式组，从而求出m的取值范围，再结合选项选出必要不充分条件． 【详解】
B．“6?m?7”
D．“5?m?7”且“m?6”
x2y2因为方程??1的曲线是椭圆，
7?mm?5?7?m?0?则由椭圆的定义可知：?m?5?0，解得：5?m?7且m?6，
?7?m?m?5?x2y2所以“方程??1的曲线是椭圆”的充要条件为“5?m?7且m?6”，
7?mm?5Q“5?m?7”推不出“5?m?7且m?6”，反之可推出，
x2y2所以“5?m?7”是方程“??1的曲线是椭圆”的必要不充分条件．
7?mm?5x2y2所以“方程??1的曲线是椭圆”的必要不充分条件是：“5?m?7”．
7?mm?5故选：C． 【点睛】
本题考查必要不充分条件的判断，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意利用集合的关系进行解题.
8?x?3???A?x?0B?xx?N,?N?，则AIB=（ ） 2．已知集合??，?x?1?x?7???A．?0,1,3? 【答案】A 【解析】 【分析】
根据分式不等式的解法和集合的表示方法，求解A,B，再结合集合的交集运算，即可求解．
B．??3,?2,1,3?
C．?0,1,3,7?
D．??3,?2,0,1,3?
【详解】
由题意，集合A??x8?x?3????0????3,7?，B??xx?N,?N???0,1,3,7?，
x?1?x?7???所以AIB??0,1,3?． 故选：A． 【点睛】
本题主要考查了集合交集的概念及运算，其中解答中正确求解集合A,B，结合集合的交集运算求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．
3．已知命题p：若x?y且y?z，则log1?x?y??log1?y?z?，则命题p的逆否命题
22及其真假分别为（ ）
A．若log1?x?y??log1?y?z?，则x?y且y?z，真
22B．若log1?x?y??log1?y?z?，则x?y或y?z，真
22C．若log1?x?y??log1?y?z?，则x?y且y?z，假
22D．若log1?x?y??log1?y?z?，则x?y或y?z，假
22【答案】D 【解析】 【分析】
先根据逆否命题的概念写出命题p的逆否命题，再举反例说明其真假. 【详解】
命题p的逆否命题为“若log1?x?y??log1?y?z?，则x?y或y?z”；
22由于原命题为假（如x?4，y?3，z?1），故其逆否命题也为假， 故选：D. 【点睛】
本题主要考查命题的逆否命题及其真假的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
4．已知集合A．【解析】 【分析】 由题意，集合
，
，再根据集合的运算，即可求解.
B．
C．
【答案】C
，则
D．
( )
【详解】 由题意，集合
，
所以【点睛】
本题主要考查了对数函数的性质，以及不等式求解和集合的运算问题，其中解答中正确求解集合础题.
，再根据集合的运算求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基
，故选C.
，
5．在?ABC中，“tanBtanC?1”是“?ABC为钝角三角形”的（ ） A．充分非必要条件 条件 【答案】C 【解析】
分析：从两个方向去判断，先看tanAtanB?1能推出三角形的形状是锐角三角形，而非钝角三角形，从而得到充分性不成立，再看当三角形是钝角三角形时，也推不出
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要
tanAtanB?1成立，从而必要性也不满足，从而选出正确的结果. 详解：由题意可得，在?ABC中，因为tanAtanB?1，
sinAsinB?1，因为0?A??,0?B??， 所以
cosAcosB所以sinAsinB?0，cosAcosB?0，
结合三角形内角的条件，故A,B同为锐角，因为sinAsinB?cosAcosB， 所以cosAcosB?sinAsinB?0，即cos(A?B)?0，所以因此0?C??2?A?B??，
?2，所以?ABC是锐角三角形，不是钝角三角形，
所以充分性不满足，
反之，若?ABC是钝角三角形，也推不出“tanBtanC?1，故必要性不成立， 所以为既不充分也不必要条件，故选D.
点睛：该题考查的是有关充分必要条件的判断问题，在解题的过程中，需要用到不等式的等价转化，余弦的和角公式，诱导公式等，需要明确对应此类问题的解题步骤，以及三角形形状对应的特征.
6．已知实数a?0，b?0，则“a?b?1”是“ea?2b?eb?2a”的（ ） A．充分不必要条件 C．充要条件 【答案】A 【解析】 【分析】
B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
构造函数f(x)?ex?2x(x?0),利用函数f(x)的单调性和充分与必要条件的定义判断即可. 【详解】
ea?2b?eb?2a?ea?2a?eb?2b，
令f(x)?ex?2x(x?0)，则f?(x)?ex?2， 令f?(x)?0，解得x?ln2，
?x?为R上的增函数,
''所以当x??0,ln2?时,f?x??0;当x??ln2,???时,f?x??0,
因为f'故f(x)在(0,ln2)上单调递减，在(ln2,??)上单调递增， 所以当a?b?1时，f(a)?f(b)，即ea?2a?eb?2b, 即“a?b?1”是“ea?2b?eb?2a”的充分条件；
但当0?a?b?ln2时，有f(a)?f(b),即ea?2a?eb?2b, 所以当ea?2b?eb?2a时,可得a?b?1或0?a?b?ln2， 故“a?b?1”是“ea?2b?eb?2a”的不必要条件.
综上可知“a?b?1”是“ea?2b?eb?2a”的充分不必要条件. 故选:A 【点睛】
x本题考查充分与必要条件;解题的关键是构造函数f(x)?e?2x(x?0),利用函数的单调性
进行判断;属于中档题.
7．“a?0”是“函数y?ex?a为偶函数”的（ ） A．充分不必要条件 条件 【答案】C 【解析】
x?a|x|解析：若a?0，则y?e是偶函数，“a?0”是“函数y?e为偶函数”的充分条件；若
B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要
函数y?ex?a为偶函数，则对称轴为x?0，即x?a?0，则“a?0”是“函数y?ex?a为
偶函数”的必要条件，应选答案C．
8．已知x，y?R，则“x?y”是“A．充分而不必要条件 C．充分必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】
x?1”的（ ） yB．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件
x?y，不能得到
【详解】 因为x，y?R，
xx?1， ?1成立也不能推出x?y，即可得到答案. yy当x?y时，不妨取x??1,y??故x?y时，
1x，?2?1， 2yx?1不成立， y当
x?1时，不妨取x?2,y??1，则x?y不成立， yx?1”的既不充分也不必要条件， y综上可知，“x?y”是“故选：D 【点睛】
本题主要考查了充分条件，必要条件的判定，属于容易题.
9．已知点P不在直线l、m上，则“过点P可以作无数个平面，使得直线l、m都与这些平面平行”是“直线l、m互相平行”的（ ） A．充分不必要条件 C．充分必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】
根据直线和平面平行的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】
B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
Q点P不在直线l、m上，
?若直线l、m互相平行，则过点P可以作无数个平面，使得直线l、m都与这些平面平
行，即必要性成立，
若过点P可以作无数个平面，使得直线l、m都与这些平面平行，则直线l、m互相平行成立，反证法证明如下：
若直线l、m互相不平行，则l，m异面或相交，则过点P只能作一个平面同时和两条直线平行，则与条件矛盾，即充分性成立
则“过点P可以作无数个平面，使得直线l、m都与这些平面平行”是“直线l、m互相平行”的充要条件， 故选：C． 【点睛】
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合空间直线和平面平行的性质是解决本题的关键．
高考数学压轴专题扬州备战高考《集合与常用逻辑用语》真题汇编
