2008 年考研数学一试题分析、详解和评注
一、选择题： (本题共 8小题，每小题 4 分，共 32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项 符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内 )
x2
(1)设函数 f (x) ln(2 t)dt ，则 f ( x)的零点个数为【
(C) 2.
(D) 3．
】
(A) 0. (B) 1. 【答案】应选 (B).
【详解 】 f (x) ln(2 x2) 2x 2x ln(2 x2)．
显然 f (x)在区间 ( , )上连续，且 f ( 1) f (1) ( 2ln3) (2ln3) 0 ，由零点 定理，知 f (x) 至少有一个零点．
2
4x
24x 22 x
又 f (x) 2ln(2 x2) 2 0 ，恒大于零， 所以 f (x)在( , )上是单调递增 的．又因为 f (0) 0 ，根据其单调性可知， f ( x)至多有一个零点．
故 f (x)有且只有一个零点．故应选 (B).
x
2)函数 f (x, y) arctan 在点 (0,1)处的梯度等于【
y
(A) i
(B) i (C) j. (D) j .
答案】 应选 (A). 详解 】因为
f y
y
x
1
x22
2
y
2
x
2 y2 y
2
2 2
x
y x2
1
2 y2
2 y
所以
f
x (0,1)
1，
(0,1)
0，于是 gradf ( x, y) (0,1) i .故应选 (A).
x
3)在下列微分方程中，以 为通解的是【
y C1ex C2cos2x C3 sin2x(C1,C2,C3为任意的常数)
(B) y y 4y 4y 0. (D) y y 4y 4y 0.
(A) y y 4y 4y 0. (C) y y 4y 4y 0. 【答案】 应选 (D).
详解 】由 y C1ex C2 cos2x C3 sin 2x ，可知其特征根为
1
x
1， 2,3 2i ，故对应的特征值方程为
( 1)( 2i)( 2i ) ( 1)( 2 4)
3 4 2 4 3 2 4 4
所以所求微分方程为 y y 4y 4 y 0 ．应选 (D).
xn 为数列，下列命题正确的是【
4)设函数 f (x) 在 ( , ) 内单调有界，
】
．
(A) 若{xn} 收敛，则 { f(xn)} 收敛
{
}
(C) 若{ f(xn )} 收敛，则 {xn} 收敛 . 答案 】 应选 (B).
(B) 若{xn} 单调，则 { f (xn)} 收敛 (D) 若{ f (xn)} 单调，则 {xn} 收敛 .
详解】若 n单调，则由函数 在 内单调有界知，若 n单调有界，
因此若 n收敛．故应选 (B).
3，则【 】 为 阶非零矩阵， 为 阶单位矩 5)设
阵．若 则下列结论正确的是： (B) 不可逆，则 可逆 .
(A) 不可逆，则 不可逆 .
{x} f (x) ( , ) { f (x)}
{ f (x)}
n
AEn
A 0
E A E A(C) E A可逆，则 E A可逆 .
E AE A
(D) E A可逆，则 E A不可逆 .
答案 】应选 (C). 详解 】故应选 (C). 2
(E A)(E A A) E A3 E ， (E A)(E A A2) E A3 E ．
故 E A ， E A 均可逆．故应选 (C). 6)设 A 为 3 阶实对称矩阵，如果二次曲面方程
准方程的图形如图，则
A 的正特征值个数
(C) 2.
为【(A) 0.
(B)
1.
答案 】 应选 (B).
【详解】此二次曲面为旋转双叶双曲面，此曲面的标准方程为
x yz 2 2 a
c
2 22
1 ．故 A的正
7) 设随机变量 X,Y 独立同分布且 X 的分布函数为 F(x)，则 Z max{ X,Y} 的分布函 数为【 】 22
(A) F2(x). (B) F(x)F(y). (C) 1 [1 F(x)]2. (D) [1 F ( x)][1 F(y)]. 【答案】应选 (A)．
【详解】 F(z) P Z z P max{X,Y} z
P X z P Y z F(z)F(z) F 2(z) ．故应选 (A)．
8)设随机变量 X N (0,1) , Y N (1,4) , 且相关系数 XY 1，则【
】
(A) P{Y (C) P{Y 2X 1} 1 (B) P{Y 2X 1} 1 2X 1} 1 (D) P{Y 2X 1} 1
【答案】应选 (D)．
【详解】用排除法．设 Y aX b．由 XY 1，知 X ， Y 正相关，得 a 0．排除( A) 和( C)．由 X N(0,1) ，Y N (1,4) ，得
EX 0,EY 1,E(aX b) aEX b ．
1 a 0 b， b 1．从而排除 (B).故应选 (D)．
、填空题： (9－14 小题，每小题 4 分，共 24 分. 把答案填在题中横线上 .) 9)微分方程 xy y 0 满足条件 y(1) 1的解是 y .
1
答案 】 应填 y ．
1
x
详解 】由
dy
y
，得
dy
dx
．两边积分，得 ln | y | ln | x| C ．
dx x y x
考研数学数学一真题答案解析
