2001-2010考研数学一真题完整版

考研资料下载中心 http://download.kaoyan.com 2005年全国硕士研究生入学统一考试 数学（一）试卷 一、填空题 (本题共6小题, 每小题4分, 满分24分, 把答案填在题中横线上.) x2（1）曲线y=的斜渐近线方程为 . 2x+11的解为 . 9= . (1,2,3)（2）微分方程xy′+2y=xlnx满足y(1)=-1x2y2z2{1,1,1},则?u（3）设函数u(x,y,z)=1+++，单位向量n=61218?n3（4）设?是由锥面z=的整个边界的外侧，则∑x2+y2与半球面z=R2?x2?y2围成的空间区域，∑是?∫∫xdydz+ydzdx+zdxdy= . 5）设α1,α2,α3均为3维列向量，记矩阵 A=(α1,α2,α3),B=(α1+α2+α3,α1+2α2+4α3,α1+3α2+9α3), 如果|A|=1,那么|B|= . （6）从数1，2，3，4中任取一个数，记为X，再从1，…，X中任取一个数，记为Y，则P{Y=2}= . 二、选择题（选择题（本题共8小题，小题，每小题4分，满分32分，每小题给出的四个选项中，每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.） （7）设函数f(x)=limn1+|x|,则f(x)在（?∞，+∞）内 n→∞3n （A）处处可导 （B）恰有一个不可导点 （C）恰有两个不可导点 （D）至少有三个不可导点 ，（8）设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，“M?N”表示“M的充分必要条件是N”则必有 （A）F（x）是偶函数?f(x)是奇函数. （B）F（x）是奇函数?f(x)是偶函数. （C）F（x）是周期函数?f(x)是周期函数. （D）F（x）是单调函数?f(x)是单调函数. x+y （9）设函数u(x,y)=?(x+y)+?(x?y)+一阶导数，则必有 ψ具有∫ψ(t)dt,其中函数?具有二阶导数，x?y?2u?2u（A）2=?2 ?x?y ?2u?2u（B）2= ?x?y2 ?2u?2u?2u?2u （C）= （D）= ?x?y?y2?x?y?x2（10）设有三元方程xy?zlny+exz=1，根据隐函数存在定理，存在点（0，1）的一个邻域，在此邻域内该方程 （A）只能确定一个具有连续偏导数的隐函数z=z(x,y) 您所下载的资料来源于kaoyan.com考研资料下载中心 考研资料下载中心 http://download.kaoyan.com （B）可只能确定两个具有连续偏导数的隐函数y=y(x,z)和z=z(x,y) （C）可确定两个具有连续偏导数的隐函数x=x(y,z)和z=z(x,y) （D）可确定两个具有连续偏导数的隐函数x=x(y,z)和y=y(x,z) （11）设λ1,λ2是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为α1,α2，则α1,A(α1+α2)线性无关的充分必要条件是 （A）λ1≠0 （B）λ2≠0 （C）λ1=0 （D）λ2=0 （12）设A为n(n≥2)阶可逆矩阵，交换A的第1行与第2行得矩阵B，A*，B*分别为A，B的伴随矩阵，则 （A）交换A*的第1列与第2列得B* （B）交换A*的第1行与第2行得B* （C）交换A*的第1列与第2列得-B* （D）交换A*的第1行与第2行得-B* （13）设二维随机变量（X，Y）的概率分布为 Y X 0 1 0 0.4 a 1 b 0.1 已知随机事件{X=0}与{X+Y=1}互相独立，则 （A）a=0.2, b=0.3 （B） a=0.4, b=0.1 （D）a=0.3, b=0.2 （D）a=0.1, b=0.4 [ ] （14）设X1,X2,?，Xn(n≥2)为来自总体N（0，1）的简单随机样本，X为样本均值，S2为样本方差，则 （A）nX~N（0，1） （B）nS2~χ2(n) （D）(n?1)X~t(n?1) （C）S(n?1)X12∑Xi=2n~F(1,n?1) 2i 三、解答题（解答题（本题共9小题，小题，满分94分，解答应写出文字说明、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）证明过程或演算步骤） （15）（本题满分11分） 设D=(x,y)x+y≤整数，计算二重积分D{222,x≥0,y≥0,1+x2+y2表示不超过1+x2+y2的最大}[]22xy[1+x+y]dxdy ∫∫ （16）（本题满分12分） 求幂级数∑(?1)n?1(1+n=1∞1)x2n的收敛区间与和函数f(x). n(2n?1)（17）（本题满分11分） 如图，曲线C的方程为y=f(x)，点（3，2）是它的一个拐点，直线l1与l2分别是曲线C在（0，0）与（3，2）处的切线，其交点为（2，4）.设函数f(x)具有三阶连续导您所下载的资料来源于kaoyan.com考研资料下载中心 考研资料下载中心 http://download.kaoyan.com 数，计算定积分(x+x)f′′′(x)dx. 0∫32 （18）（本题满分12分） 已知函数f(x)在[0，1]上连续，在（0，1）内可导，且f(0)＝0， f(1)＝1.证明： （I）存在ξ∈(0,1)，使得f(ξ)=1?ξ； （II）存在两个不同的点η,ξ∈(0,1)，使得f′(η)f′(ξ)=1. （19）（本题满分12分） 设函数?(y)具有连续导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L上，曲线积分∫L?(y)dx+2xydy2x+y24的值恒为同一常数. （I）证明：对右半平面x>0内的任意分段光滑简单闭曲线C，有 ∫C?(y)dx+2xydy2x+y24=0; （II）求函数?(y)的表达式. （20）（本题满分9分） 已知二次型f(x1,x2,x3)=(1?a)x1+(1?a)x2+2x3+2(1+a)x1x2的秩为2. （I）求a的值； （II）求正交变换x=Qy，把f(x1,x2,x3)化成标准形； （III）求方程f(x1,x2,x3)=0的解. 222 （21）（本题满分9分） ?123???已知3阶矩阵A的第一行是(a,b,c),a,b,c不全为零，矩阵B=?246?（k为常数），?36k???且AB=O，求线性方程组Ax=0的通解. （22）（本题满分9分） 设二维随机变量（X，Y）的概率密度为 ?1,02)为来自总体N（0，1）的简单随机样本，X为样本均值，记Yi=Xi?X,i=1,2,?,n. 求：（I）Yi的方差DYi,i=1,2,?,n; （II）Y1与Yn的协方差Cov(Y1,Yn). 您所下载的资料来源于kaoyan.com考研资料下载中心 考研资料下载中心 http://download.kaoyan.com 2005年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题分析 一、填空题 (本题共6小题, 每小题4分, 满分24分, 把答案填在题中横线上.) 11x2（1）曲线y=的斜渐近线方程为y=x?. 2x+124解: x21x2112x+1k=lim= ，b=lim(?x)=? ， x→∞x→∞2x+1x224x211 的渐近线方程为y=x? 。 故曲线y=2x+124点评：点评 求斜渐近线，此题无其它技巧。 讲课点过有关公式。 （2）微分方程xy′+2y=xlnx满足y(1)=-解: ∫dx2y′+y=lnx 两边同乘以 ex=x2 ，方程改写为 xd2(xy)=x2lnx ，两边从0到X 积分，得到 dxx3112xy=lnx?x3+C 利用初条件y(1)=??C=0 。 399x1即得所求的解为 y=lnx?x 。 3921x1的解为y=(lnx?). 933点评：点评 一阶线性非齐次微分方程求解套公式，无技巧。 讲课不仅讲公式，还讲了有关技巧的一些处理。 1x2y2z2{1,1,1},则?u（3）设函数u(x,y,z)=1+++，单位向量n=61218?n3解: =(1,2,3)3. 3?u(x,y,z)1?u(x,y,z)1?u(x,y,z)1=x,=y,=z ?x3?y6?z9?u?1111{1,1,1} =1(1x+1y+1z) 。 =?x,y,z}?69?n?369333?u111111231=(x+y+z) =(++)= 。 (1,2,3)(1,2,3)369?n369333 点评：点评 求方向导数，无其它技巧。 您所下载的资料来源于kaoyan.com考研资料下载中心 考研资料下载中心 http://download.kaoyan.com 讲课点过有关公式。 （4）设?是由锥面z=的整个边界的外侧，则解: 用Gauss公式， ∑x2+y2与半球面z=R2?x2?y2围成的空间区域，∑是?2)πR3. ∫∫xdydz+ydzdx+zdxdy=(2?∫∫xdydz+ydzdx+zdxdy=3∫∫∫dv ∑?即空间区域 ? 体积的三倍，锥面 z=22的交线为 x+y=(2πRx2+y2 与半求面 z=R2?x2?y2 R2)2 。用柱坐标 ， R2?r23∫∫∫dv=3∫dθ∫?020rdr∫rdz=6π∫RR20(R2?r2?r)rdr 111=6πR2?r2(r2?R2)?r3333[]20 =πR3(2?2) 点评：点评 用到高斯公式和求空间物体体积，此题无其它技巧。 在辅导课上讲过高斯公式及其应用的常用技巧以及类似求空间物体体积的例题。 （5）设α1,α2,α3均为3维列向量，记矩阵 A=(α1,α2,α3),B=(α1+α2+α3,α1+2α2+4α3,α1+3α2+9α3), 如果|A|=1,那么|B|= 2 . 解： B=(α1+α2+α3,α1+2α2+4α3,α1+3α2+9α3) 1 1 1 = A 1 ,A 2 , A 3 1 4 9 1 1 1 = A 1 2 3 , 1 4 9 于是 1 1 1 |B|=|A| 1 2 3 =2 . 1 4 9 点评：点评： 这道题主要考察的是矩阵分解求行列式的方法。 类比：请参考新东方考研数学辅导班所用材料《线性代数题型精讲》的P.40例10： 设3阶矩阵A = (α1,α求2α1+P{Y=2}= 解： 2,α3), 已知A＝5 , α2?α3,?α1+2α2,α2+α3 （6）从数1，2，3，4中任取一个数，记为X，再从1，…，X中任取一个数，记为Y，则13. 48您所下载的资料来源于kaoyan.com考研资料下载中心