2001-2010考研数学一真题完整版 

2003年硕士研究生入学考试（年硕士研究生入学考试（数学一）数学一）试题及答案解析 一、填空题填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） 填空题1（1） lim(cosx)x→0∞ln(1+x2) =1e . g(x)【分析分析】分析 1型未定式，化为指数函数或利用公式limf(x)计算求极限均可. 1(1∞)=elim(f(x)?1)g(x)进行【详解详解1】 lim(cosx)x→0ln(1+x)2=ex→0ln(1+x2)lim1lncosx, ?sinxlncosxlncosxcosx=?1， =lim=lim而 limx→0ln(1+x2)x→0x→02x2x2故 原式=e?12=1e. 12x12=?， 2x2【详解详解2】 因为 lim(cosx?1)?x→0121=limln(1+x2)x→0?所以 原式=e?=1e. 【评注评注】评注 本题属常规题型 22（2） 曲面z=x+y与平面2x+4y?z=0平行的切平面的方程是2x+4y?z=5. 【分析分析】分析 待求平面的法矢量为n={2,4,?1}，因此只需确定切点坐标即可求出平面方程, 而切点坐标可根据曲面z=x2+y2切平面的法矢量与n={2,4,?1}平行确定. 22【详解详解】详解 令 F(x,y,z)=z?x?y，则 ????Fx′=?2x，Fy′=?2y， Fz′=1. 设切点坐标为(x0,y0,z0)，则切平面的法矢量为 {?2x0,?2y0,1}，其与已知平面2x+4y?z=0平行，因此有 您所下载的资料来源于kaoyan.com考研资料下载中心 获取更多考研资料，请访问http://download.kaoyan.com ?2x0?2y01==， 24?122可解得 x0=1,y0=2，相应地有 z0=x0+y0=5. 故所求的切平面方程为 2(x?1)+4(y?2)?(z?5)=0，即 2x+4y?z=5. 【评注评注】评注 本题属基本题型。 （3） 设x=2∑an=0∞ncosnx(?π≤x≤π)，则a2= 1 . 【分析分析】分析 将f(x)=x(?π≤x≤π)展开为余弦级数x=其系数计算公式为an=22∑an=0∞ncosnx(?π≤x≤π)，π∫π2π0f(x)cosnxdx. 1π【详解详解】详解 根据余弦级数的定义，有 a2= = =2π11∫02x2?cos2xdx=π0π∫0x2dsin2x ππ[xsin2x?∫sin2x?2xdx] 0π∫π01xdcos2x=[xcos2xπ0π?∫cos2xdx] 0π =1. 【评注评注】 本题属基本题型，主要考查傅里叶级数的展开公式，本质上转化为定积分的评注计算. 2（4）从R的基α1=??0??,α2=???1??到基β1=??1??,β2=??2??的过渡矩阵为?????????1??1??1??1?3??2???1?2?? . ??【分析分析】分析 n维向量空间中，从基α1,α2,?,αn到基β1,β2,?,βn的过渡矩阵P满足 [β1,β2,?,βn]=[α1,α2,?,αn]P，因此过渡矩阵P为：P=[α1,α2,?,αn][β1,β2,?,βn]. 【详解详解】根据定义，从R2的基α1=?详解?0??,α2=???1??到基β1=??1??,β2=??2??的过渡矩????????阵为 ?1?1??1??1??1??11??11??1P=[α1,α2][β1,β2]=???12?. 0?1????您所下载的资料来源于kaoyan.com考研资料下载中心 获取更多考研资料，请访问http://download.kaoyan.com ?1 =?3??11??11??2=. ??????0?1??12???1?2?【评注评注】评注 本题属基本题型。 （5）设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 ?6x,0≤x≤y≤1, f(x,y)=? 0,其他，?则P{X+Y≤1}= 1 . 4【分析】 已知二维随机变量(X,Y)的概率密度f(x,y)，求满足一定条件的概率P{g(X,Y)≤z0}，一般可转化为二重积分P{g(X,Y)≤z0}=【详解详解】详解 由题设，有 P{X+Y≤1}=∫∫f(x,y)dxdy进行计算. g(x,y)≤z0∫∫f(x,y)dxdy=∫x+y≤1120dx∫1?xx6xdy =∫1201(6x?12x2)dx=. 4 y 1 D O 【评注评注】评注 本题属基本题型，但在计算二重积分时，应注意找出概率密度不为零与满足不等式x+y≤1的公共部分D，再在其上积分即可. 完全类似例题见《文登数学全真模拟试卷》数学一P.14第一大题第（5）小题. （6）已知一批零件的长度X (单位：cm)服从正态分布N(μ,1)，从中随机地抽取16个零件，得到长度的平均值为40 (cm)，则μ的置信度为0.95的置信区间是(39.51,40.49) . (注：标准正态分布函数值Φ(1.96)=0.975,Φ(1.645)=0.95.) 【分析】 已知方差σ21 1 x 2=1，对正态总体的数学期望μ进行估计，可根据您所下载的资料来源于kaoyan.com考研资料下载中心 获取更多考研资料，请访问http://download.kaoyan.com X?μX?μ0；而当y= -x且x充分小时，f(x,y)?f(0,0)≈?x2+4x4<0. 故点(0,0)不是f(x,y)的极值点，应选(A). 【评注评注】评注 本题综合考查了多元函数的极限、连续和多元函数的极值概念，题型比较新，有一定难度. 将极限表示式转化为极限值加无穷小量，是有关极限分析过程中常用的思想。 （4）设向量组I：α1,α2,?,αr可由向量组II：β1,β2,?,βs线性表示，则 (A) 当rs时，向量组II必线性相关. (C) 当rs时，向量组I必线性相关. [ D ] 【分析分析】若向量组I：α1,α2,?,αr分析 本题为一般教材上均有的比较两组向量个数的定理：您所下载的资料来源于kaoyan.com考研资料下载中心 获取更多考研资料，请访问http://download.kaoyan.com