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f?x,y?关于y满足利普希兹条件：
f?x,y??f?x,y'??Ky?y'， x,y,y'?R.
(1.1.7)
其中K>0为常数，过定点?x0,y0?的积分曲线只有一条 与方程（ 1.1.6）等价的积分方程为：
y?x??y0??f?t,y?t??dt， (1.1.8)
x0x
取?>0满足K??1.
在C?x0??,x0???中定义映射T：
?Ty??x??y0??xf?t,y?t??dt ?x??x0??,x0????
0x则有，
??Ty1,Ty2??maxx?x0???xx0??f?t,y1?t???f?t,y2?t????dt
?maxx?x0???xx0Ky1?t??y2?t?dt
?K?maxy1?t??y2?t??K???y1,y2?. （1.1.9）
t?x0??根据压缩映射原理，存在唯一的连续函数y0?x? ?x??x0??,x0????使得：
y0?x??y0??f?t,y0?t??dt，
x0x由此，y?y0?x?就是微分方程过?x0,y0?的积分曲线。
例1.1.5
设T是度量空间下的压缩映射，求证T是连续的。
证明：只需证当xn?x0时，有Txn?Tx0，根据假设，存在???0,1?使得
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??Tx,Ty?????x,y?成立，因此当xn?x0，??xn,x0??0，
??Txn,Tx0?????xn,x0??0成立因，此??Txn,Tx0??0，Txn?Tx0.
1.2压缩映射原理（巴拿赫空间）
下面讨论压缩映射原理在巴拿赫空间下的情形。
定理 1.2.1：设X是巴拿赫空间，设A：X?X非线性映射，并且有
A?u??A?v???u?v， u,v?X， （1.2.1）
其中?满足不等式0???1， 那么A在X中有唯一的不动点，且由（1.2.1）式可知A是连续映射。【3】
证明：在X中任意取定一点u0，并令
uk?1?A?uk?，k=0,1,2…
A?uk?1??A?uk???uk?1?uk??A?uk??A?uk?1?， 因此，
A?uk?1??A?uk???kA?u0??u0，k=0,1,…
于是有，如果k?l,
uk?ul?A?uk?1??A?ul?1???k?1j?l?1?k?2A??uj?1???A??uj???A?u0??u0j?l?1??k?2j，
因此，?uk? 是X中的柯西列，那么存在一点u?X，在X中点列uk?u，有
A?u??u，因此u是A的不动点，公式（1.2.1）保证了唯一性。
由于巴拿赫空间是特殊的度量空间，其应用与定理1.1.1类似，在此不再详述，对于该部分的详细内容可参考张恭庆，林源渠，泛函分析讲义一书。
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例1.2.1
?ut??u?f?u?在UT上?u?0在?U??0,T?上 （1.2.2） ??u?g在U??t?0?上?这里
U是开的有界集，边界光滑，时间T>0u??u1...um?,g??g1...gm?，UT?U??0,T?，
1是固定的，我们假定初始函数属于H0?U;Rm?，设
mm f:R?R是利普希兹连续 （1.2.3）
这个假设表明：
f?z??C?1?z? （1.2.4）
对于z?Rm成立。 我们说函数
1??L20,T;H0?U;Rm?，u?L20,T;H?1?U;Rm?, （1.2.5）
????是（1.2.2）的一个弱解，并有
?,,v?B??,v???f???,v? a.e. 0?t?T, (1.2.6)
1对于每一个 v?H0?U;Rm?，且有
u?0??g （1.2.7）
1在（1.2.6）式中，,代表H?1?U;Rm?和H0?U;Rm?的匹配，B?,?是与??相关的，
?,?代表着L2?U;Rm?上的内积。
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2 Schauder不动点定理
我们先讨论一个重要的不动点定理Brouwer不动点定理。
定理2.1：（Brouwer不动点定理）设B是中的闭单位球，又假设T:B?B是一个连续映射，那么T必有一个不动点x?B.
推论2.1：设C是Rn中的紧凸子集，T:C?C是连续的，则T必有一个在C上的不动点。
证明：由于C与Rm?m?n?中的一个单位球同胚，记此同胚为?:Bm??,1??C，考察映射T????1T?，显然有T?:Bm??,1??Bm??,1?，对T?应用Brouwer不动点定理，存在x?Bm??,1?，使得T?x?x成立，据此可知y??x?C是T的不动点。
为了讨论无限维空间中的情形，我们引入Schauder不动点定理。 定理2.2：（Schauder不动点定理）设K?X是凸的紧集，并且假定
A:K?K
是连续的，那么A在K中有不动点。【4】
证明：给定??0,选定有限个点u1,u2,...uN??K，于是开球?B?ui,???覆盖K，
0i?1N?即
K?UB0?ui,??， （2.1.1）
i?1N?因为K是紧的，所以（2.1.1）成立，让K?表示由点列?u1,u2...uN??组成的闭凸壳：
N??N??K?:????iui|0??i?1,??i?1? （2.1.2）
i?1?i?1?因为K是紧的，则有K??K，现在定义P?:K?K?：
?P??u?:?? 页脚
N?i?1N?dist?u,K?B0?ui,???uidist?u,K?B?ui,???0， （u?K） （2.1.3）
i?1由（2.1.1）式可知，分母不为零。现在证明P?是连续的：
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对于每个u?K，有
P??u??u??0distu,K?B?ui,???ui?u?i?1N??N?i?1dist?u,K?B?ui,???0?? ， （2.1.4）
考虑下一个由A??u??P???A?u??? ?u?K??定义的算子
A?:K??K?，
那么K?与单位球RM??M??N??是同胚映射，定理（2.1）保证了
A??u???u? ?u??K?? （2.1.5）
的存在性。
因为K是紧集，存在点列?j?0和u?K，使得在X中u?j?u，我们断言u是A的不动点，事实上，根据（2.1.2）有，
u?j?A??u?j???A?j??u?j???A??u?j???P?j??u?j???A??u?j????A????j，
又因为A是连续的，可得u?A?u?。 例2.1
设函数f?t,x?:R1?R1?R1在??h,h?????b,??b?上二元连续（有常数M是的，证明常微分方程初值问题的存在性定理。 f?t,x??M成立） 证明：
考虑C??h,h?中的球B??,b?上的映射：
?Tx??t?????f?t,x?t??dt，下面证明对足够小的h，T映B??,b?到自身，并且
0tT是紧的，因为：
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不动点原理及其应用
