班级一、课前测试专题8：等差数列、等比数列(两课时)姓名2an11．(1)已知an+1＝，a1＝2，求证：数列{}的等差数列；anan＋2提示：用等差数列的定义来证.(2)数列{an}前n项和为Sn，若an＋Sn＝n，令bn＝an－1，求证：数列{bn}是等比数列.提示：先利用数列的前n项和与通项an之间的关系,找到数列的递推关系；再用等比数列的定义来证．即由an＋Sn＝n，得an－1＋Sn－1＝n－1，两式相减得2an－an－1＝1即2bn＝bn－1．bn1从而有＝(常数)bn－1212．已知数列{an}满足an＝2an－1＋2n＋1(n∈N*且n≥2)，a1＝2，令bn＝n(an＋t)(n∈N*)，否存在一个实数t，2使得数列{bn}为等差数列？若存在，求出实数t；若不存在，请说明理由．答案：存在实数t＝1，使得数列{bn}为等差数列．3．(1)Sn为等差数列{an}的前n项和，S2＝S6，a4＝1，则an＝(2)已知在等比数列{an}中，a3＝2，a2＋a4＝20，则an＝3．．1－－
答案：(1)an??2n?9；(2)an＝2×3n3或an＝2×()n3．34．(1)设在等比数列{an}中，a1＋an＝66，a2an－1＝128，Sn＝126，求n＝；q＝．．．7nSa(2)若两个等差数列{an}和{bn}的前n项之和分别是Sn、Tn，已知n＝，则5＝Tnn＋3b5(3)已知一个等比数列的前10项和为10，前20项和为30，则前50项的和为121答案：(1)n＝6，q＝2或；(2)；(3)310．245．(1)已知{an}是等差数列，若a1＝20，公差d＝－2，求数列前n项和Sn的最大值．(2)已知{an}是等差数列，Sn是其前n项的和，公差d＜0，且S12?0,S13?0,求使得Sn取得最大值的n值.答案：(1)当且仅当n＝10或11时，Sn取得最大值110．(2)结合二次函数图象分析，n?6二、方法联想1．等差、等比数列的证明方法证明数列是等差数列：方法1定义法，即当n∈N*时，an＋1－an为同一常数．方法2中项公式法，即当n∈N*时，2an＋1＝an＋an＋2均成立，其推广形式为：2an＝an－m＋an＋m．方法证明数列是等比数列：an＋1
为同一常数．an
方法2中项公式法，即当n∈N*时，an＋12＝anan＋2均成立，其推广形式为：an2＝an－m＋an＋m．方法1定义法，即当n∈N*时，2．等差、等比数列的判断判断数列是等差数列方法1定义法，即当n≥1且n∈N*时，an＋1－an为同一常数．1方法2中项公式法，即当n≥1且n∈N*时，2an＋1＝an＋an＋2均成立．方法3特殊值法，如前3项成等差，再证明其对任意n∈N*成等差数列．方法4通项为一次形式，即an＝an＋b．方法5前n项和为不含常数项的二次形式，即Sn＝an2＋bn．方法6若数列{an}为等比数列，则{logaan}为等差数列．注意方法4、5、6只能做为判断，作为解答题需要证明．判断数列不是等差数列方法通常用特殊值法，如取连续3项验证不成等差数列．判断数列是等比数列an＋1
为同一常数．an
方法2中项公式法，即当n∈N*时，an＋12＝anan＋2均成立．方法3特殊值法，如前3项成等比，再证明其对任意n∈N*成等比数列．方法4通项公式为指数幂形式，即an＝aqn．方法5若数列{an}为等差数列，则{aan}为等比数列．注意方法4、5只能做为判断，作为解答题需要证明．方法1定义法，即当n∈N*时，判断数列不是等比数列方法通常用特殊值法，如取连续3项验证不成等比数列．3．基本量运算基本量法：等差、等比数列中，五个元素a，q，n，an，Sn中四个量可以建立关系式，如知三求二．【变式】在等差数列{an}中，若a1＋a2＋a21＝30，则S15＝_____．(基本量解决问题时，也应根据目标“按需所求”)4．性质的应用方法(1)在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q则am＋an＝ap＋aq．特别若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap．在等比数列{an}中，若m＋n＝p＋q则aman＝apaq．特别若m＋n＝2p，则am＋an＝ap2．n(a1＋an)n1
(2)在等差数列{an}中，由Sn＝得，若n为奇数，则Sn＝na＋．
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方法在等差数列{an}中，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差数列．在等比数列{an}中，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列．【变式】7nSna5
（1）若两个等差数列{an}和{bn}的前n项之和分别是Sn、Tn，已知＝，则＝Tnn＋3b9
（2）已知一个等差数列{an}中，a1＋a2＋a3＝2，a2＋a3＋a4＝－1，则数列{an}的前6项的和＝63答案：（1）；（2）－5205．等差数列Sn的最值问题方法在等差数列{an}中Sn的最值问题：方法1：(1)当a1＞0，d＜0时，满足(2)当a1＜0，d＞0时，满足am≥0，的项数m使得Sm取最大值.am＋1≤0am≤0，的项数m使得Sm取最小值，am＋1≥02．．方法2：由Sn的解析式，结合二次函数图象分析．【变式】已知{an}是等差数列，若a1＝20，数列前n项和Sn取得最大值的条件的n＝10，求公差的取值范围．(已知等差数列取得最值的条件，确定参数的取值范围)20答案：(－，－2)．9三、例题分析例1已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足：a2＋a4＝14，S7＝70.(1)求数列{an}的通项公式；2Sn＋48(2)设bn＝，数列{bn}的最小项是第几项，并求出该项的值．n解(1)an＝3n－2.(2)数列{bn}的最小项是第4项，该项的值为23.【教学建议】(1)主要问题归类与方法：1．求数列的通项：方法①利用等差(比)数列的通项公式；②构造等差(比)数列；③由Sn与an的关系求通项；④用不完全归纳法，猜想数列的通项，再证明．2．求数列的最大项问题：①将数列的通项看作是n的函数，通过讨论相应函数的单调性来求最值；②考察数列的单调性，求最大项；③利用基本不等式求最值．(2)方法选择与优化建议：对于问题1，学生一般会选择方法①，因为本题已知数列是等差数列，所以选择方法①．对于问题2，学生一般会选择③，因为本题中bn＝3n＋里n必须取正整数，所以选择方法③．例2已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和Sn，且满足：a2a4＝65，a1＋a5＝18．(1)求数列{an}的通项公式an；(2)若1＜i＜21，a1，ai，a21是某等比数列的连续三项，求i值；(3)是否存在常数k，使得数列{Sn＋kn}为等差数列，若存在，求出常数k；若不存在，请说明理由．解(1)an＝4n－3.(2)i＝3．48－1便于用基本不等式求最值，但要注意这n(3)由(1)知，Sn＝2n2－n．假设存在常数k，使数列{Sn＋kn}为等差数列，【法一】由S1＋k＋S3＋3k＝2S2＋2k，得k＝1,当k＝1时，Sn＋kn＝2n，易知数列{Sn＋kn}为等差数列．【法二】假设存在常数k，使数列{Sn＋kn}为等差数列，由等差数列通项公式可知设Sn＋kn＝an＋b，得2n2＋(k－1)n＝(an)2＋2abn＋b2恒成立，可得a2＝2，2ab＝k－1，b2＝0，∴a2＝2，b＝0，k＝13∴Sn＋kn＝2n，易知数列{Sn＋kn}为等差数列．【教学建议】(1)主要问题归类与方法：1．等差(比)数列基本量的计算：方法:①利用等差(比)数列的通项公式与前n项和公式，求基本量a1与d(q)，再用上述公式求数列中某项，某项数与某些项的和．②利用等差(比)数列的性质，把条件简化后再用通项公式各前n项和公式求基本量；2．条件探索性问题：方法:①利用分析法，从结论和已知条件入手，执果索因，导出所需条件；②从特例出发，探求结论成立的条件，再进行证明．(2)方法选择与优化建议：对于问题1，一般优先考虑方法②，如没性质可用，就用方法①，本题先用性质简化后，先求出a2和a4，再求d，然后用an＝a2＋(n－2)d，求通项，当然本题用方法①也很简单．对于问题3，学生一般会选择方法②，由特例求k的值比较方便，所以用方法②．例3：等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2＝5，S7＝63，数列{bn}的前n项为Tn，满足bn＝Tn－1＋2(n≥2，n∈N)，b1＝2，（1）求an与bn；（2）求数列{anbn}的前n项和Fn．111（3）若＋＋…＋≤x2＋ax＋1对任意正整数n和任意x∈R恒成立，求实数a的取值范围．S1S2Sn解(1)an＝2n＋1；bn＝2n．(2)Fn＝(2n－1)·2n1＋2．＋
(3)－1≤a≤1．【教学建议】(1)主要问题归类与方法：1．等差(比)数列基本量的计算：方法:①利用等差(比)数列的通项公式与前n项和公式，求基本量a1与d(q)，再用上述公式求数列中某项，某项数与某些项的和．②利用等差(比)数列的性质，把条件简化后再用通项公式各前n项和公式求基本量；2．判断一个数列是等差(比)数列：方法：①利用定义：an＋1－an＝d(常数)；②等差中项：2an＝an－1＋an＋1(n≥2，n∈N*)．3．数列求和问题：方法：①利用等差(比)数列前n和公式求和；②分部求和；③错位相减法；④裂项求和．4．不等式恒成立，求参数的范围问题：方法：①转化为求函数的最值；②变量分离后转化为求函数的最值；③利用几何意义求参数的范围(2)方法选择与优化建议：对于问题1，一般优先考虑方法②，如没性质可用，就用方法①，本题先用性质S7＝7a4简化后，先求出a4，再由a2的值，再求d，然后用an＝a2＋(n－2)d，求通项，当然本题用方法①也很简单．对于问题2，学生一般会选择方法①，本题将通项bn与前n项Tn关系代入，可得递推关系bn＋1＝2bn．由等比数列的定义，可推得{bn}为等比数列，．4对于问题3，学生一般会选择方法③和④，本题中数列{anbn}是由等差数列与等比数列相应项之积1所构成的数列，所以用方法③求和，数列{}的通项是分式形式，所以用方法④求和．Sn
对于问题4，本题中不等式对于任意n恒成立，用方法②，对于任意实数x恒成立，用方法①，当然对于任意实数x恒成立，由于是一元二次不等式，所以也可用方法③．四、反馈练习1.等比数列x,3x＋3,6x＋6，…的第四项等于________．答案:－24说明：本题考查等比数列、等比中项定义2.等差数列{an}前9项的和等于前4项的和．若a4＋ak＝0，则k＝________.答案:10说明：本题考查等差数列的性质若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq3.已知{an}为等比数列，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，则a1＋a10＝________.答案:-7说明：本题考查等比数列性质：若m＋n＝p＋q则aman＝apa4.设等比数列{an}的前n项和为Sn，an>0.若S6-2S3＝5，则S9-S6的最小值为________.答案:20说明：本题考查等比数列的性质Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列5.各项均为正数的等比数列{an}中，若a5·a6＝9，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝________.答案:10说明：本题考查数列{an}为等比数列，?logan?为等差数列6.设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＋S6＝S9，则数列的公比q是________．答案:1或－1说明：本题考查等比数列求和公比q的分类7.已知等比数列{an}中a2＝1，其前三项的和S3的取值范围是________________．答案:(－∞，－1]∪[3，＋∞)说明：本题考查数列与不等式8．在等差数列{an}中，a1＝－2014，其前n项和为Sn，若答案:－2014S12S10－＝2，则S2014的值等于____________1210Sn说明：本题考查等差数列的性质：n也是等差数列9.数列{an}的首项为3，{bn}为等差数列且bn＝an＋1－an(n∈N*)．若b3＝－2，b10＝12，则a8等于________．答案;3说明：本题考查叠加法求数列通项公式5
专题8等差数列、等比数列
