2019年
3.1.2 瞬时变化率—导数
学习目标：1.理解导数的概念和定义及导数的几何意义．(重点) 2.理解运动在某时刻的瞬时变化率(瞬时速度)．(难点)
[自 主 预 习·探 新 知]
1．曲线上一点处的切线
设曲线C上的一点P，Q是曲线C上的另一点，则直线PQ称为曲线C的割线；随着点Q沿曲线C向点P运动，割线PQ在点P附近越来越逼近曲线C.当点Q无限逼近点P时，直线PQ最终就成为在点P处最逼近曲线的直线l，这条直线l称为曲线在点P处的切线．
2．瞬时速度
运动物体的位移S(t)对于时间t的导数，即v(t)＝S′(t)． 3．瞬时加速度
运动物体的速度v(t)对于时间t的导数，即a(t)＝v′(t)． 4．导数
Δyf设函数y＝f(x)在区间(a，b)上有定义，x0∈(a，b)，当Δx无限趋近于0时，比值＝
Δxx0＋Δx－fx0
Δx无限趋近于一个常数A，则称f(x)在点x＝x0处可导，并称常数A为函数f(x)在点x＝x0处的导数，记作f′(x0)．
5．导函数
若函数y＝f(x)对于区间(a，b)内任一点都可导，则f(x)在各点的导数也随自变量x的变化而变化，因而也是自变量x的函数，该函数称为f(x)的导函数，记作f′(x)．
6．函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率．
[基础自测]
1．判断正误：
(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数值与Δx值的正、负无关．( ) (2)在导数的定义中，Δx，Δy都不可能为零．( ) Δy(3)在导数的定义中，＞0.( )
Δx【解析】 (1)√.Δx是自变量的增量，可正可负，函数f(x)在x＝x0处的导数与它的正负无关． (2)×.Δy可以为0，如常数函数． Δy(3)×.也可能是负数或0.
Δx【答案】 (1)√ (2)× (3)×
2．函数f(x)＝x在点(1,1)处切线的斜率是________． 1＋Δx【解析】 k＝
Δx【答案】 2
3．一辆汽车运动的速度为v(t)＝t－2，则汽车在t＝3秒时加速度为__________．
2
2
2
－1
＝2＋Δx，当Δx→0时，k→2，故所求的切线的斜率是2.
2019年
Δv【解析】 a＝＝
Δt3＋Δt2
－2－9－2
＝6＋Δt，
Δt当Δt→0时，a→6，故汽车的加速度为6. 【答案】 6
[合 作 探 究·攻 重 难]
求瞬时速度与瞬时加速度 (1)一辆汽车按规律s＝2t＋3做直线运动，求这辆车在t＝2时的瞬时速度(时间单位：s，位移单
位：m)．
(2)设一辆汽车在公路上做加速直线运动，其在t s时的速度为v(t)＝t＋1，求汽车在t＝1 s时的加速度.
【导学号：95902184】
Δs[思路探究] (1)设时间变化量Δt→求位移增量Δs→求平均速度→令Δt→0→结论.
ΔtΔv(2)设时间变化量Δt→求速度增量Δv→求平均加速度→令Δt→0→结论
Δt【自主解答】 (1)设这辆车在t＝2附近的时间变化量为Δt，
Δs222
则位移的增量Δs＝[2(2＋Δt)＋3]－(2×2＋3)＝8Δt＋2(Δt)，＝8＋2Δt，
ΔtΔs当Δt→0时，→8，所以这辆车在t＝2时的瞬时速度为8 m/s.
Δt(2)设这辆车在t＝1附近的时间变化量为Δt，
ΔvΔv222
则速度的增量Δv＝[(1＋Δt)＋1]－(1＋1)＝(Δt)＋2Δt，＝Δt＋2，当Δt→0时，→2，
ΔtΔt所以汽车在t＝1 s时的加速度为2. [规律方法]
(1)求瞬时速度的步骤：
①求位移增量Δs＝S(t0＋Δt)－S(t0)； －Δs②求平均速率v＝；
2
2
Δt③求瞬时速度：当Δt趋近于0时，(2)求瞬时加速度的步骤： Δv①求平均加速度；
Δt②令Δt→0，求瞬时加速度. [跟踪训练]
Δs趋近于v. Δt 2019年
1．若一物体的运动方程为S＝7t＋8，则其在t＝__________时的瞬时速度为1.
2
Δs7t0＋Δt【解析】 因为＝
Δt所以当Δt→0时，【答案】
1 14
2
＋8－7t0＋8
2
Δt＝7Δt＋14t0，
Δs1趋近于14t0，即14t0＝1，t0＝. Δt14
求函数在某一点处的导数 1
求函数y＝x＋在x＝1处的导数.
x【导学号：95902185】
Δy[思路探究] 方法一：先求Δy，再求出，令Δx→0，可求f′(1)，先求出f′(x)，再求出f′(x)在xΔx＝1处的值．
Δy方法二：先求出，当Δx无限趋于0时，即可求出f′(x)在x＝1处的值．
Δx11Δx－1Δx＋1＋1?1?【自主解答】 方法一：∵Δy＝(1＋Δx)＋－?1＋?＝Δx－1＋＝
1?1＋Δx?1＋Δx1＋ΔxΔxΔyΔxΔy＝，∴＝，当Δx→0时，→0，∴f′(1)＝0. 1＋ΔxΔx1＋ΔxΔxΔyf方法二：＝
Δx2
x＋Δx－fx
Δxx＋Δx＋
＝＝1－
1?1?－?x＋?x＋Δx?x?
Δx1
，
x＋Δxx11
无限趋近于1－2，
x＋Δxxx当Δx无限趋于0时，1－1
即f′(x)＝1－2，故f′(1)＝0.
x11
函数y＝x＋在x＝1处的导数为1－2＝0.
x1
[规律方法] 由导数的定义知，求一个函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的步骤如下： (1)求函数值的改变量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)； Δyf(x0＋Δx)－f(x0)
(2)求平均变化率＝；
ΔxΔx
2019年
Δy(3)求当Δx→0时，的值，即f′(x0).
Δx[跟踪训练]
2．根据导数的定义求下列函数的导数： (1)求y＝x在x＝1处的导数；
1?19?2
(2)求y＝x＋＋5在点P?2，?处的导数．
2?x?
Δy2Δx＋Δx【解】 (1)∵Δy＝(1＋Δx)－1＝2Δx＋(Δx)，∴＝
ΔxΔx2
2
2
2
2
＝2＋Δx，
Δy当Δx无限趋近于0时，＝2＋Δx无限趋近于2，所以f′(1)＝2.
Δx1?21?22
(2)∵Δy＝(2＋Δx)＋＋5－?2＋＋5?＝4Δx＋(Δx)－
2?2＋Δx2?∴
Δy1
＝4＋Δx－， Δx4＋2ΔxΔx，
2＋ΔxΔy11515
∴当Δx→0时，→4－＝，故f′(2)＝.
Δx444
导数的几何意义及应用 [探究问题] 1．平均变化率
fx0＋Δx－fx0
的几何意义是什么？
Δxfx0＋Δx－fx0
的几何意义是过点P(x0，f(x0))和Q(x0＋Δx，f(x0＋Δx))割
Δx【提示】 平均变化率线的斜率．
2．在探究1中，若让Δx→0，割线PQ是如何变化的？
【提示】 当点Q沿着曲线无限接近点P，即Δx→0时，割线PQ有一个极限位置PT，我们把直线PT称为曲线在点P处的切线．
3．根据探究2的答案，导数的几何意义是什么？
【提示】 函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线斜率k＝
f ′(x0)．
4．我们在初中学过圆的切线，圆是一种特殊曲线，圆的切线与圆只有一个公共点，其他曲线和它的切线也只有一个公共点吗？
【提示】 曲线的切线，并不一定与曲线只有一个交点，可以有多个，甚至可以有无穷多个．
1?1? 求双曲线y＝过点?2，?的切线方程. x?2?
【导学号：95902186】
[思路探究] 由导数的几何意义先求出斜率，再求方程.
2019年
【自主解答】
Δyf＝Δx11
－2＋Δx22＋Δx－f2＝＝－
ΔxΔx2
1
，
2＋ΔxΔy11
当Δx→0时，→－，即k＝f′(2)＝－.
Δx44所以由直线方程的点斜式知切线方程为：
y－＝－(x－2)，即y＝－x＋1.
[规律方法]
1．求曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程．即点P的坐标既适合曲线方程，又适合切线方程，若点
1
21414
P处的切线斜率为f′(x0)，则点P处的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；如果曲线y＝f(x)在点P处的切
线平行于y轴(此时导数不存在)，可由切线定义确定切线方程为x＝x0.
2．若切点未知，此时需设出切点坐标，再根据导数的定义列关于切点横坐标的方程，最后求出切点坐标或切线的方程，这种情况下求出的切线方程往往不止一条．
[跟踪训练]
3．已知直线y＝3x＋a和曲线y＝x相切，求实数a的值． Δyx0＋Δx【解】 设切点为M(x0，y0)，则＝
ΔxΔx2
2
3
3
－x0
3
＝3x0＋3x0(Δx)＋(Δx)，
2
22
当Δx无限趋近于0时，3x0＋3x0(Δx)＋(Δx)无限趋近于3x0. 由题意得，3x0＝3，解得x0＝1或x0＝－1. 所以切点坐标为(1,1)或(－1，－1)． 将点(1,1)代入直线y＝3x＋a，可得a＝－2； 将点(－1，－1)代入直线y＝3x＋a，可得a＝2. 综上可知，a＝－2或a＝2.
[构建·体系]
2
[当 堂 达 标·固 双 基]
1．设函数f(x)在点x0附近有定义，且有f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx) (a，b为常数)，则f′(x0)＝________.
2
2020学年高中数学 第三章导数的概念 3.1.2 瞬时变化率—导数学案 苏教版选修1-1
