结论1 奇函数的最值性质
已知函数f(x)是定义在区间D上的奇函数，则对任意的x∈D，都有f(x)＋f(－x)＝0.特别地，若奇函数f(x)在D上有最值，则f(x)max＋f(x)min＝0，且若0∈D，则f(0)＝0.
（x＋1）＋sin x
【例1】 设函数f(x)＝的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝________. 2x＋1解析 显然函数f(x)的定义域为R， （x＋1）＋sin x2x＋sin x
f(x)＝＝1＋， 22x＋1x＋1设g(x)＝
2x＋sin x
，则g(－x)＝－g(x)， 2
x＋1
2
2
∴g(x)为奇函数，
由奇函数图象的对称性知g(x)max＋g(x)min＝0，
∴M＋m＝[g(x)＋1]max＋[g(x)＋1]min＝2＋g(x)max＋g(x)min＝2. 答案 2
【训练1】 对于函数f(x)＝asin x＋bx＋c(其中a，b∈R，c∈Z)，选取a，b，c的一组值计算f(1)和f(－1)，所得出的正确结果一定不可能是( ) A.4和6 C.2和4
B.3和1 D.1和2
解析 令g(x)＝f(x)－c＝asin x＋bx，则g(x)是奇函数.又g(－1)＋g(1)＝f(－1)－c＋f(1)－c＝f(－1)＋f(1)－2c，而g(－1)＋g(1)＝0，c为整数，∴f(－1)＋f(1)＝2c为偶数.选项D中，1＋2＝3是奇数，不可能成立. 答案 D
结论2 抽象函数的周期性与对称性 1.函数的周期性
(1)如果f(x＋a)＝－f(x)(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中一个周期T＝2a. (2)如果f(x＋a)＝
1
(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T＝2a.
f（x）
(3)如果f(x＋a)＋f(x)＝c(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T＝2a. 2.函数的对称性
已知函数f (x)是定义在R上的函数.
a＋b
(1)若f(a＋x)＝f(b－x)恒成立，则y＝f(x)的图象关于直线x＝对称，特别地，若f(a＋x)＝f(a－x)恒成
2
立，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.
(2)若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＋f(a－x)＝0，即f(x)＝－f(2a－x)，则f(x)的图象关于点(a，0)对称. 【例2】 (1)已知函数f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，有f(x＋3)＝－f(x)，且当x∈(0，3)时，f(x)＝x＋1，则f(－2 017)＋f(2 018)＝( ) A.3
B.2
C.1
D.0
(2)(2018·日照调研)函数y＝f(x)对任意x∈R都有f(x＋2)＝f(－x)成立，且函数y＝f(x－1)的图象关于点(1，0)对称，f(1)＝4，则f(2 016)＋f(2 017)＋f(2 018)的值为________. 解析 (1)因为函数f(x)为定义在R上的奇函数， 所以f(－2 017)＝－f(2 017)， 因为当x≥0时，有f(x＋3)＝－f(x)，
所以f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x)，即当x≥0时，自变量的值每增加6，对应函数值重复出现一次. 又当x∈(0，3)时，f(x)＝x＋1， ∴f(2 017)＝f(336×6＋1)＝f(1)＝2， f(2 018)＝f(336×6＋2)＝f(2)＝3.
故f(－2 017)＋f(2 018)＝－f(2 017)＋3＝1. (2)因为函数y＝f(x－1)的图象关于点(1，0)对称， 所以f(x)是R上的奇函数，
f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，故f(x)的周期为4. 所以f(2 017)＝f(504×4＋1)＝f(1)＝4，
所以f(2 016)＋f(2 018)＝－f(2 014)＋f(2 014＋4) ＝－f(2 014)＋f(2 014)＝0，
所以f(2 016)＋f(2 017)＋f(2 018)＝4. 答案 (1)C (2)4
【训练2】 奇函数f(x)的定义域为R.若f(x＋2)为偶函数，且f(1)＝1，则f(8)＋f(9)＝( ) A.－2
B.－1
C.0
D.1
解析 由f(x＋2)是偶函数可得f(－x＋2)＝f(x＋2)， 又由f(x)是奇函数得f(－x＋2)＝－f(x－2)，
所以f(x＋2)＝－f(x－2)，f(x＋4)＝－f(x)，f(x＋8)＝f(x)，故f(x)是以8为周期的周期函数，所以f(9)＝f(8＋1)＝f(1)＝1.又f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，所以f(8)＝f(0)＝0，故f(8)＋f(9)＝1. 答案 D
结论3 两个经典不等式
(1)对数形式：x≥1＋ln x(x>0)，当且仅当x＝1时，等号成立. (2)指数形式：e≥x＋1(x∈R)，当且仅当x＝0时，等号成立.
x
进一步可得到一组不等式链：ex
>x＋1>x>1＋ln x(x>0，且x≠1). 【例3】 (2017·全国Ⅲ卷改编)已知函数f(x)＝x－1－aln x. (1)若f(x)≥0，求a的值；
(2)证明：对于任意正整数n，???1＋12?????1?1＋22???…??1?1＋2n???
①若a≤0，因为f??1?2???＝－12＋aln 2<0，所以不满足题意. ②若a>0，由f′(x)＝1－ax－a x＝x 知， 当x∈(0，a)时，f′(x)<0；当x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0； 所以f(x)在(0，a)单调递减，在(a，＋∞)单调递增， 故x＝a是f(x)在(0，＋∞)的唯一最小值点. 因为f(1)＝0，所以当且仅当a＝1时，f(x)≥0，故a＝1. (2)证明 由(1)知当x∈(1，＋∞)时，x－1－ln x>0. 令x＝1＋12n，得ln??1?1＋2n???<1 2 n. 从而ln???1＋12???＋ln???1＋122???＋…＋ln???1＋12n???<12＋1 112 2＋…＋2n＝1－2n<1. 故??1?1＋2?????1?1＋22???…??1?1＋2n??? 【训练3】 (1)已知函数f(x)＝ 1 ln（x＋1）－x ，则y＝f(x)的图象大致为( 解析 因为f(x)的定义域由???x＋1>0， ?? ln（x＋1）－x≠0， 求得{x|x>－1，且x≠0}，所以排除选项C，D. 当x>0时，由经典不等式x>1＋ln x(x>0)， 以x＋1代替x，得x>ln(x＋1)(x>－1，且x≠0)， 所以ln(x＋1)－x<0(x>－1，且x≠0)，易知B正确. 答案 B ) 12x (2)已知函数f(x)＝e，x∈R.证明：曲线y＝f(x)与曲线y＝x＋x＋1有唯一公共点. 2 ?12?x12 证明 令g(x)＝f(x)－?x＋x＋1?＝e－x－x－1，x∈R， 2?2? 则g′(x)＝e－x－1， 由经典不等式e≥x＋1恒成立可知，g′(x)≥0恒成立，所以g(x)在R上为单调递增函数，且g(0)＝0. 所以函数g(x)有唯一零点，即两曲线有唯一公共点. 结论4 三点共线的充要条件 →→→→→ A，B，C三点共线AB，AC共线；向量PA，PB，PC中，A，B，C三且α＋β＝1. →→2→ 【例4】 已知A，B，C是直线l上不同的三个点，点O不在直线l上，则使等式xOA＋xOB＋BC＝0成立的实数x的取值集合为( ) A.{－1} C.{0} D.{0，－1} →→→ α，β使得PA＝αPB＋βPC， xx →→→→→→2→ 解析 ∵BC＝OC－OB，∴xOA＋xOB＋OC－OB＝0， →→2→2 即OC＝－xOA＋(1－x)OB，∴－x＋(1－x)＝1， 解得x＝0或x＝－1(x＝0舍去)，∴x＝－1. 答案 A →→→ 【训练4】 在梯形ABCD中，已知AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为CD，BC的中点.若AB＝λAM＋μAN，则λ＋μ＝________. 解析 如图，连接MN并延长交AB的延长线于T. 4 由已知易得AB＝AT， 54→→→→∴AT＝AB＝λAM＋μAN， 5→5→5→∴AT＝λAM＋μAN， 44 554 ∵T，M，N三点共线，∴λ＋μ＝1，∴λ＋μ＝. 445答案 4 5 结论5 三角形“四心”向量形式的充要条件 设O为△ABC所在平面上一点，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则 →→→ (1)O为△ABC的外心?|OA|＝|OB|＝|OC|＝→→→ (2)O为△ABC的重心?OA＋OB＋OC＝0. →→→→→→ (3)O为△ABC的垂心?OA·OB＝OB·OC＝OC·OA. a . 2sin A →→→ (4)O为△ABC的内心?aOA＋bOB＋cOC＝0. →1→→ 【例5】 已知A，B，C是平面上不共线的三点，O为坐标原点，动点P满足OP＝[(1－λ)OA＋(1－λ)OB＋(1 3→ ＋2λ)·OC]，λ∈R，则点P的轨迹一定经过( ) A.△ABC的内心 C.△ABC的重心 B.△ABC的垂心 D.AB边的中点 →→→ 解析 取AB的中点D，则2OD＝OA＋OB， →1→→→∵OP＝[(1－λ)OA＋(1－λ)OB＋(1＋2λ)OC]， 3→1→→∴OP＝[2(1－λ)OD＋(1＋2λ)OC] 3＝而 2（1－λ）→1＋2λ→ OD＋OC， 33 2（1－λ）1＋2λ ＋＝1，∴P，C，D三点共线， 33 ∴点P的轨迹一定经过△ABC的重心. 答案 C →→→→→→ 【训练5】 (1)P是△ABC所在平面内一点，若PA·PB＝PB·PC＝PC·PA，则P是△ABC的( ) A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 →??→ABAC?→→?＋(2)O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足OP＝OA＋λ，λ∈[0，＋ →→??|AB ?||AC|?∞)，则P的轨迹一定通过△ABC的( ) A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 →→→→→→→→→→→→→→→ 解析 (1)由PA·PB＝PB·PC，可得PB·(PA－PC)＝0，即PB·CA＝0，∴PB⊥CA，同理可证PC⊥AB，PA⊥BC.∴P是△ABC的垂心. →→→→AB→ACABAC→→(2)为AB上的单位向量，为AC上的单位向量，则＋的方向为∠BAC的平分线AD的方向. →→→→|AB||AC||AB||AC|→?→→?→ABAC?ABAC?＋又λ∈[0，＋∞)，∴λ的方向与＋的方向相同. →→??|AB→→ |AB||AC|?||AC|?→??→ABAC?→→→ ＋OP＝OA＋λ?，∴点P在AD上移动. →→??|AB ?||AC|?∴P的轨迹一定要通过△ABC的内心. 答案 (1)D (2)B 结论6 与等差数列相关的结论 (1)若等差数列{an}的项数为偶数2m，公差为d，所有奇数项之和为S奇，所有偶数项之和为S偶，则所有项之和
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