C．60° 答案 C
D．90°
解析 如图，可补成一个正方体， ∴AC1∥BD1.
∴BA1与AC1所成角的大小为∠A1BD1. 又易知△A1BD1为正三角形， ∴∠A1BD1＝60°.
即BA1与AC1成60°的角．
点、直线、平面位置关系考虑不全面致误
典例：(5分)l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是
A．l1⊥l2，l2⊥l3?l1∥l3 B．l1⊥l2，l2∥l3?l1⊥l3 C．l1∥l2∥l3?l1，l2，l3共面 D．l1，l2，l3共点?l1，l2，l3共面
易错分析 由于空间点、直线、平面的位置关系是在空间考虑，这与在平面上考虑点、线的位置关系相比复杂了很多，特别是当直线和平面的个数较多时，各种位置关系错综复杂、相互交织，如果考虑不全面就会导致一些错误的判断．
解析 当l1⊥l2，l2⊥l3时，l1与l3也可能相交或异面，故A不正确；当l1∥l2∥l3时，l1，l2，l3未必共面，如三棱柱的三条侧棱，故C不正确；l1，l2，l3共点时，l1，l2，l3未必共面，如正方体中从同一顶点出发的三条棱，故D不正确． 答案 B
温馨提醒 (1)平面几何中的一些定理和结论在空间中不一定成立，如“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”在空间中不成立，所以在用一些平面几何中的定理和结论时，必须说明涉及的元素都在某个平面内．
(2)解决点、线、面位置关系问题的基本思路：一是逐个判断，利用空间线面关系证明正确的结论，寻找反例否定错误的结论；二是结合长方体模型或实际空间位置(如课桌、教室)作出判断，但要注意定理应用要准确、考虑问题要全面细致．
( )
构造衬托平面研究直线相交问题
典例：(5分)在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，则在空间中与
三条直线A1D1，EF，CD都相交的直线有________条．
审题视角 找三条异面直线都相交的直线，可以转化成在一个平面内，作与三条直线都相交的直线．因而可考虑过一条直线及另外一条直线上的一点作平面．进而研究公共交线问题．
解析 方法一 在EF上任意取一点M，直线A1D1与M确定一个平面，这个平面与CD有且仅有1个交点N，当M取不同的位置时就确定不同的平面，从而与CD有不同的交点N，而直线MN与这3条异面直线都有交点．如图所示．
方法二 在A1D1上任取一点P，过点P与直线EF作一个平面α，因CD与平面α不平行，所以它们相交，设它们交于点Q，连接PQ，则PQ与EF必然相交，即PQ为所求直线．由点P的任意性，知有无数条直线与三条直线A1D1，EF，CD都相交． 答案 无数
温馨提醒 (1)本题难度不大，但比较灵活．对平面的基本性质、空间两条直线的位置关系的考查，难度一般都不会太大．
(2)误区警示：本题解法较多，但关键在于构造平面，但不少学生不会构造平面，因此失分较多．这说明学生还是缺少空间想象能力，缺少对空间直线位置关系的理解.
方法与技巧
1． 主要题型的解题方法
(1)要证明“线共面”或“点共面”可先由部分直线或点确定一个平面，再证其余直线或点也在这个平面内(即“纳入法”)．
(2)要证明“点共线”可将线看作两个平面的交线，只要证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理3可知这些点在交线上，因此共线． 2． 判定空间两条直线是异面直线的方法
(1)判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点B的直线是异面直线．
(2)反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面． 3． 求两条异面直线所成角的大小，一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面
问题来解决．根据空间等角定理及推论可知，异面直线所成角的大小与顶点位置无关，往往可以选在其中一条直线上(线面的端点或中点)利用三角形求解． 失误与防范
1．全面考虑点、线、面位置关系的情形，可以借助常见几何模型． 2．异面直线所成的角范围是(0°，90°]．
A组 专项基础训练 (时间：35分钟，满分：57分)
一、选择题(每小题5分，共20分)
1． 若空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的
( )
A．充分非必要条件 C．充分必要条件 答案 A
解析 若两条直线无公共点，则两条直线可能异面，也可能平行．若两条直线是异面直线，则两条直线必无公共点． 2． 下列命题正确的个数为
①经过三点确定一个平面 ②梯形可以确定一个平面
③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面 ④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合． A．0 答案 C
解析 经过不共线的三点可以确定一个平面，∴①不正确； 两条平行线可以确定一个平面，∴②正确；
两两相交的三条直线可以确定一个或三个平面，∴③正确； 命题④中没有说清三个点是否共线，∴④不正确．
3． 设P表示一个点，a、b表示两条直线，α、β表示两个平面，给出下列四个命题，其中
正确的命题是
( )
B．1
C．2
D．3
( )
B．必要非充分条件 D．既非充分又非必要条件
①P∈a，P∈α?a?α ②a∩b＝P，b?β?a?β
③a∥b，a?α，P∈b，P∈α?b?α ④α∩β＝b，P∈α，P∈β?P∈b
A．①② 答案 D
B．②③ C．①④ D．③④
解析 当a∩α＝P时，P∈a，P∈α，但a?α，∴①错；a∩β＝P时， ②错；
如图，∵a∥b，P∈b，∴P?a， ∴由直线a与点P确定唯一平面α，
又a∥b，由a与b确定唯一平面β，但β经过直线a与点P， ∴β与α重合，∴b?α，故③正确；
两个平面的公共点必在其交线上，故④正确．
4. 在正方体ABCD—A1B1C1D1中，过顶点A1与正方体其他顶点的连线与
直线BC1成60°角的条数为 A．1 C．3 答案 B
解析 有2条：A1B和A1C1. 二、填空题(每小题5分，共15分)
5． 平面α、β相交，在α、β内各取两点，这四点都不在交线上，这四点能确定________个
平面． 答案 1或4
解析 若过四点中任意两点的连线与另外两点的连线相交或平行，则确定一个平面；否则确定四个平面．
6． 下列命题中不正确的是________．(填序号) ．
①没有公共点的两条直线是异面直线； ②分别和两条异面直线都相交的两直线异面；
③一条直线和两条异面直线中的一条平行，则它和另一条直线不可能平行； ④一条直线和两条异面直线都相交，则它们可以确定两个平面． 答案 ①②
解析 没有公共点的两直线平行或异面，故①错；命题②错，此时两直线有可能相交；命题③正确，因为若直线a和b异面，c∥a，则c与b不可能平行，用反证法证明如下：若c∥b，又c∥a，则a∥b，这与a，b异面矛盾，故cD∥\\b；命题④也正确，若c与两异面直线a，b都相交，由公理2可知，a，c可确定一个平面，b，c也可确定一个平面，这样，a，b，c共确定两个平面．
7． (2011·大纲全国)已知正方体ABCD－A1 B1 C1 D1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE
与BC所成角的余弦值为______．
( )
B．2 D．4
答案 23
解析 取A1B1的中点F，连接EF，AF. ∵在正方体ABCD－A1B1C1D1中， EF∥B1C1，B1C1∥BC，
∴EF∥BC，∴∠AEF即为异面直线 AE与BC所成的角． 设正方体的棱长为a， 则AF＝
a2＋?12a?2＝5
2
a，EF＝a.
∵EF⊥平面ABB1A1，∴EF⊥AF， ∴AE＝AF2＋EF2＝3
2a.
∴cos ∠AEF＝EFa2
AE＝3＝3
.
2a三、解答题(共22分)
8． (10分) 如图所示，四边形ABEF和ABCD都是直角梯形，∠BAD
＝∠FAB＝90°，BC綊12AD，BE綊1
2FA，G、H分别为FA、FD的
中点．
(1)证明：四边形BCHG是平行四边形； (2)C、D、F、E四点是否共面？为什么？ (1)证明 由已知FG＝GA，FH＝HD， 可得GH綊11
2AD.又BC綊2AD，∴GH綊BC，
∴四边形BCHG为平行四边形．
(2)解 方法一 由BE綊1
2AF，G为FA的中点知，
BE綊FG，∴四边形BEFG为平行四边形，∴EF∥BG. 由(1)知BG綊CH，∴EF∥CH，∴EF与CH共面． 又D∈FH，∴C、D、F、E四点共面．
方法二 如图所示，延长FE，DC分别与AB交于点M，M′， ∵BE綊1
2AF，∴B为MA的中点．
∵BC綊1
2
AD，∴B为M′A的中点，
2014《步步高》高考数学第一轮复习08 空间点、直线、平面之间的位置关系
