§8.3 空间点、直线、平面之间的位置关系
2014高考会这样考 1.考查点、线、面的位置关系，考查逻辑推理能力与空间想象能力；2.考查公理、定理的应用，证明点共线、线共点、线共面的问题；3.运用公理、定理和结论证明或判断一些空间图形的位置关系．
复习备考要这样做 1.理解、熟记平面的性质公理，灵活运用并判断直线与平面的位置关系；2.异面直线位置关系的判定是本节难点，可以结合实物、图形思考．
1． 平面的基本性质
公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内． 公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
2． 直线与直线的位置关系
(1)位置关系的分类
?平行
?共面直线??
?相交??
?异面直线：不同在任何一个平面内
(2)异面直线所成的角
①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a，b所成的角(或夹角)． π0，?. ②范围：??2?
3． 直线与平面的位置关系有平行、相交、在平面内三种情况． 4． 平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况． 5． 公理4
平行于同一条直线的两条直线互相平行． 6． 定理
空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． [难点正本 疑点清源] 1． 公理的作用
公理1的作用是判断直线是否在某个平面内；公理2及其推论给出了确定一个平面或判断“直线共面”的方法；公理3的作用是如何寻找两相交平面的交线以及证明“线共点”的理论依据；公理4是对初中平行线的传递性在空间中的推广．
2． 正确理解异面直线的定义：异面直线不同在任何一个平面内，没有公共点．不能错误地
理解为不在某一个平面内的两条直线就是异面直线．
1． 在下列命题中，所有正确命题的序号是________．
①平面α与平面β相交，它们只有有限个公共点； ②经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面； ③经过两条相交直线，有且只有一个平面；
④如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面重合； ⑤四边形确定一个平面． 答案 ②③④
2． 正方体各面所在平面将空间分成________部分．
答案 27
解析 如图，上下底面所在平面把空间分成三部分；左右两个侧面所在平面将上面的每一部分再分成三个部分；前后两个侧面再将第二步得到的9部分的一部分分成三部分，共9×3＝27部分．
3． 空间四边形ABCD中，各边长均为1，若BD＝1，则AC的取值范围是
________． 答案 (0，3)
解析 如图所示，△ABD与△BCD均为边长为1的正三角形，当△ABD与△CBD重合时，AC＝0，将△ABD以BD为轴转动，到A，B，C，D四点再共面时，AC＝3，故AC的取值范围是0 A．一定是异面直线 C．不可能是平行直线 答案 C 解析 由已知得直线c与b可能为异面直线也可能为相交直线，但不可能为平行直线，若b∥c，则a∥b，与已知a、b为异面直线相矛盾． 5． 已知A、B表示不同的点，l表示直线，α、β表示不同的平面，则下列推理错误的是( ) A．A∈l，A∈α，B∈l，B∈α?l?α B．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β?α∩β＝AB C．l?α，A∈l?A?α B．一定是相交直线 D．不可能是相交直线 D．A∈α，A∈l，l?α?l∩α＝A 答案 C 题型一 平面基本性质的应用 例1 在正方体ABCD—A1B1C1D1中，对角线A1C与平面BDC1交于点O，AC，BD交于点 M，求证：点C1，O，M共线． 思维启迪：证明三点共线常用方法是取其中两点确定一直线，再证明其余点也在该直线上． 证明 如图所示，∵A1A∥C1C， ∴A1A，C1C确定平面A1C. ∵A1C?平面A1C，O∈A1C， ∴O∈平面A1C，而O＝平面BDC1∩线A1C， ∴O∈平面BDC1， ∴O在平面BDC1与平面A1C的交线上． ∵AC∩BD＝M，∴M∈平面BDC1且M∈平面A1C， ∴平面BDC1∩平面A1C＝C1M， ∴O∈C1M，即C1，O，M三点共线． 探究提高 (1)证明若干点共线也可以公理3为依据，找出两个平面的交线，然后证明各个点都是这两平面的公共点． (2)利用类似方法也可证明线共点问题． 如图所示，正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是 AB和AA1的中点．求证： (1)E、C、D1、F四点共面； (2)CE、D1F、DA三线共点． 证明 (1)连接EF，CD1，A1B. ∵E、F分别是AB、AA1的中点， ∴EF∥BA1. 又A1B∥D1C，∴EF∥CD1， ∴E、C、D1、F四点共面． (2)∵EF∥CD1，EF 则由P∈CE，CE?平面ABCD，得P∈平面ABCD. 同理P∈平面ADD1A1. 又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA， ∴P∈直线DA.∴CE、D1F、DA三线共点． 题型二 空间两直线的位置关系 例2 如图所示，正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别是A1B1、B1C1 的中点．问： (1)AM和CN是否是异面直线？说明理由； (2)D1B和CC1是否是异面直线？说明理由． 思维启迪：第(1)问，连接MN，AC，证MN∥AC，即AM与CN共面；第(2)问可采用反证法． 解 (1)不是异面直线．理由如下： 连接MN、A1C1、AC. ∵M、N分别是A1B1、B1C1的中点， ∴MN∥A1C1. 又∵A1A綊C1C， ∴A1ACC1为平行四边形， ∴A1C1∥AC，∴MN∥AC， ∴A、M、N、C在同一平面内，故AM和CN不是异面直线． (2)是异面直线．证明如下： ∵ABCD—A1B1C1D1是正方体， ∴B、C、C1、D1不共面． 假设D1B与CC1不是异面直线， 则存在平面α，使D1B?平面α，CC1?平面α， ∴D1、B、C、C1∈α，与ABCD—A1B1C1D1是正方体矛盾． ∴假设不成立，即D1B与CC1是异面直线． 探究提高 (1)证明直线异面通常用反证法；(2)证明直线相交，通常用平面的基本性质，平面图形的性质等． 已知空间四边形ABCD中，E、H分别是边AB、AD的中点，F、G分别是 边BC、CD的中点．求证： (1)BC与AD是异面直线； (2)EG与FH相交． 证明 (1)假设BC与AD共面，不妨设它们所共平面为α，则B、C、A、D∈α. ∴四边形ABCD为平面图形，这与四边形ABCD为空间四边形相矛盾． ∴BC与AD是异面直线． (2)如图，连接AC，BD， 则EF∥AC，HG∥AC， 因此EF∥HG；同理EH∥FG， 则EFGH为平行四边形． 又EG、FH是?EFGH的对角线， ∴EG与FH相交． 题型三 异面直线所成的角 例3 正方体ABCD—A1B1C1D1中， (1)求AC与A1D所成角的大小； (2)若E、F分别为AB、AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小． 思维启迪：(1)平移A1D到B1C，找出AC与A1D所成的角，再计算．(2)可证A1C1与EF垂直． 解 (1)如图所示，连接B1C，由ABCD—A1B1C1D1是正方体， 易知A1D∥B1C，从而B1C与AC所成的角就是AC与A1D所成 的角． ∵AB1＝AC＝B1C， ∴∠B1CA＝60°. 即A1D与AC所成的角为60°. (2)如图所示，连接AC、BD，在正方体ABCD—A1B1C1D1中， AC⊥BD，AC∥A1C1， ∵E、F分别为AB、AD的中点， ∴EF∥BD， ∴EF⊥AC. ∴EF⊥A1C1. 即A1C1与EF所成的角为90°. 探究提高 求异面直线所成的角常采用“平移线段法”，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移．计算异面直线所成的角通常放在三角形中进行. 直三棱柱ABC－A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1 与AC1所成的角等于 A．30° B．45° ( )
2014《步步高》高考数学第一轮复习08 空间点、直线、平面之间的位置关系
