A级：“四基”巩固训练
一、选择题 1．下列命题：
①中国公民都有受教育的权利；②每一个中学生都要接受爱国主义教育；③有人既能写小说，也能搞发明创造；④任何一个数除0，都等于0.
其中全称量词命题的个数是( ) A．1 C．3 答案 C
解析 ①②④都是全称量词命题，③是存在量词命题． 2．下列命题是存在量词命题的是( ) A．一次函数都是单调函数 B．对任意x∈R，x2＋x＋1<0 C．存在实数大于或者等于3 D．菱形的对角线互相垂直 答案 C
解析 选项A，B，D中的命题都是全称量词命题，选项C中的命题是存在量词命题．
3．“存在集合A，使?
A”，对这个命题，下面说法中正确的是( )
B．全称量词命题、假命题 D．存在量词命题、假命题
A．全称量词命题、真命题 C．存在量词命题、真命题 答案 C
解析 当A≠?时，?A．?x∈R，x2>0 C．?x∈Q，x2∈Q 答案 C
解析 首先D项是存在量词命题，不符合要求；A项不是真命题，因为当x＝0时，x2＝0；B项也不是真命题，因为当x＝y＝0时，x2＋y2＝0；只有C项是真命题，同时也是全称量词命题．
5．已知a>0，则“x0满足关于x的方程ax＝b”的充要条件是( ) 1212
A．?x∈R，2ax－bx≥2ax0－bx0
A，是存在量词命题，且为真命题．故选C.
B．?x，y∈R，x2＋y2>0 D．?x∈Z，x2>1
4．下列是全称量词命题并且是真命题的是( )
B．2 D．4
11
B．?x∈R，2ax2－bx≤2ax20－bx0 11C．?x∈R，2ax2－bx≥2ax20－bx0 112D．?x∈R，2ax2－bx≤2ax0－bx0 答案 C
121?b?2b2
解析 由于a>0，令函数y＝2ax－bx＝2a?x－a?－2a，故此函数图象的开口
??bb212b2
向上，且当x＝a时，取得y＝－2a，且y＝2ax－bx≥－2a，而x0满足关于x的方b112
程ax＝b，那么x0＝a，故?x∈R，2ax2－bx≥2ax0－bx0，故选C.
二、填空题
6．“任意一个不大于0的数的立方不大于0”用“?”或“?”符号表示为__________________________．
答案 ?x≤0，x3≤0
解析 命题“任意一个不大于0的数的立方不大于0”，表示只要小于等于0的数，它的立方就小于等于0，用“?”符号可以表示为?x≤0，x3≤0.
7．下列命题：
①偶数都可以被2整除；②角平分线上的任一点到这个角的两边的距离相等；③空集是任何一个非空集合的真子集；④有的实数是无限不循环小数；⑤有的菱形是正方形；⑥存在三角形其内角和大于180°.既是全称量词命题又是真命题的是________，既是存在量词命题又是真命题的是________．(填上所有满足要求的序号)
答案 ①②③ ④⑤
解析 ①②③都是全称量词命题，且都为真命题，④⑤⑥都是存在量词命题，但只有④⑤是真命题．
8．已知命题p：存在x∈R，x2＋2x－a＝0.若p为真命题，则实数a的取值范围是________．
答案 a≥－1
解析 由题意可得a＝x2＋2x，又因为当x∈R时，x2＋2x＝x2＋2x＋1－1＝(x＋1)2－1≥－1，所以当p为真命题时，实数a的取值范围是a≥－1.
三、解答题
9．判断下列命题是不是全称量词命题或存在量词命题，并判断真假． (1)存在x，使得x－2≤0；
(2)矩形的对角线互相垂直平分； (3)三角形的两边之和大于第三边； (4)有些素数是奇数．
解 (1)存在量词命题．如x＝2时，x－2＝0成立，所以是真命题． (2)全称量词命题．因为邻边不相等的矩形的对角线不互相垂直，所以全称量词命题“矩形的对角线互相垂直平分”是假命题．
(3)全称量词命题．因为三角形的两边之和大于第三边，所以全称量词命题“三角形的两边之和大于第三边”是真命题．
(4)存在量词命题．因为3是素数，3也是奇数，所以存在量词命题“有些素数是奇数”是真命题．
10．用量词符号“?”“?”表述下列命题，并判断真假． (1)一定有实数x能使2x2＋x＋2＝0成立； (2)对所有实数a，b，方程ax＋b＝0恰有一个解； (3)一定有整数x，y，使得3x－2y＝10成立； 11(4)所有的有理数x都能使3x2＋2x＋1是有理数． 解 (1)?x∈R,2x2＋x＋2＝0；假命题．
(2)?a，b∈R，ax＋b＝0恰有一解；假命题．如当a＝0，b＝0时，该方程的解有无数个． (3)?x，y∈Z,3x－2y＝10；真命题． 11(4)?x∈Q，3x2＋2x＋1是有理数；真命题． B级：“四能”提升训练
11??x－1≤?x－1?，
2 ?a∈R，关于x的不等式组?3
??2x－a≤3?1－x?
3ya＋12
有且仅有三个整数解，且使关于y的分式方程＋＝1有整数解，则
y－22－y满足条件的所有a的值之和是( )
A．－10 C．－16 答案 B
11??x－1≤?x－1?， ①
2解析 ?3
??2x－a≤3?1－x?， ②
B．－12 D．－18
3＋a3＋a
解①得x≥－3，解②得x≤5，依题意，不等式组的解集是－3≤x≤5.3＋a3ya＋12
∵不等式组仅有三个整数解，∴－1≤5＜0，解得－8≤a＜－3，又＋y－22－y＝1有整数解，即3y－a－12＝y－2，∴y＝
a＋10a＋10
，∵y≠2，∴a≠－6，且y＝22
是整数，∴a＝－8或－4，∴满足条件的所有a的值之和是－8－4＝－12，故选B.
新教材人教版高中数学必修1 第一章 1.5 1.5.1 课后课时精练
