F(xj) ?F?x0,L,xn???j?0(xj?x0)L(xj?xj?1)(xj?xj?1)L(xj?xn)nf(xj)?g(xj) ??
(x?x)L(x?x)(x?x)L(x?x)j?0j0jj?1jj?1jnnf(xj) ??)
j?0(xj?x0)L(xj?xj?1)(xj?xj?1)L(xj?xn)ng(xj) +?)
(x?x)L(x?x)(x?x)L(x?x)j?0j0jj?1jj?1jnn ?f?x0,L,xn??g?x0,L,xn?
?得证。
017018???14.f(x)?x?x?3x?1,求F?及2,2,L,2F2,2,L,2????。
74解:Qf(x)?x?x?3x?1
i若xi?2,i?0,1,L,8
74f(n)(?)则f?x0,x1,L,xn??
n!f(7)(?)7!?f?x0,x1,L,x7????1
7!7!f(8)(?)f?x0,x1,L,x8???0
8!15.证明两点三次埃尔米特插值余项是
(4)22 R3(x)?f(?)(x?xk)(x?xk?1)/4!,??(xk,xk?1)
解:
若x?[xk,xk?1],且插值多项式满足条件
?(xk)?f?(xk) H3(xk)?f(xk),H3?(xk?1)?f?(xk?1) H3(xk?1)?f(xk?1),H3插值余项为R(x)?f(x)?H3(x) 由插值条件可知R(xk)?R(xk?1)?0
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且R?(xk)?R?(xk?1)?0
?R(x)可写成R(x)?g(x)(x?xk)2(x?xk?1)2
其中g(x)是关于x的待定函数,
现把x看成[xk,xk?1]上的一个固定点,作函数
?(t)?f(t)?H3(t)?g(x)(t?xk)2(t?xk?1)2
根据余项性质,有
?(xk)?0,?(xk?1)?0
?(x)?f(x)?H3(x)?g(x)(x?xk)2(x?xk?1)2?f(x)?H3(x)?R(x)?0?(t)?g(x)[2(t?xk)(t?xk?1)2?2(t?xk?1)(t?xk)2] ??(t)?f?(t)?H3
???(xk)?0
??(xk?1)?0
由罗尔定理可知,存在??(xk,x)和??(x,xk?1),使
??(?1)?0,??(?2)?0
即??(x)在[xk,xk?1]上有四个互异零点。
根据罗尔定理,???(t)在??(t)的两个零点间至少有一个零点, 故???(t)在(xk,xk?1)内至少有三个互异零点, 依此类推,?(4)(t)在(xk,xk?1)内至少有一个零点。
记为??(xk,xk?1)使
?(4)(?)?f(4)(?)?H3(4)(?)?4!g(x)?0
(4)又QH3(t)?0
f(4)(?)?g(x)?,??(xk,xk?1)
4!17 / 65
其中?依赖于x
f(4)(?)?R(x)?(x?xk)2(x?xk?1)2
4!分段三次埃尔米特插值时,若节点为xk(k?0,1,L,n),设步长为h,即
xk?x0?kh,k?0,1,L,n在小区间[xk,xk?1]上
R(x)?f(4)(?)4!(x?x2k)(x?xk?1)2?R(x)?1 4!f(4)(?)(x?xk)2(x?xk?1)2?14!(x?xk)2(xk?1?x)2maxa?x?bf(4)(x)?1[(x?xk?xk?1?x)2]2maxf(4)( 4!2a?x?bx)?1
4!?1424hmaxa?x?bf(4)(x)?h4max?x?bf(4)384a(x)16.求一个次数不高于
4
次的多项式
P(0)?P?(0)?0,P(1)?P?(1)?0,P(2)?0
解:利用埃米尔特插值可得到次数不高于4的多项式
x0?0,x1?1y0?0,y1?1 m0?0,m1?111H3(x)??yj?j(x)?0?mj?j(x)j?j?0?x?x0x?x120(x)?(1?2x)()
0?x1x0?x1?(1?2x)(x?1)2?x?x1x?x021(x)?(1?2x)()1?x0x1?x0
?(3?2x)x2?0(x)?x(x?1)2?1(x)?(x?1)x2
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P(x),使它满足
?H3(x)?(3?2x)x2?(x?1)x2??x3?2x2
22设P(x)?H3(x)?A(x?x0)(x?x1)
其中,A为待定常数
QP(2)?1?P(x)??x3?2x2?Ax2(x?1)2?A?1 412x(x?3)2 42
从而P(x)?17.设f(x)?1/(1?x),在?5?x?5上取n?10,按等距节点求分段线性插值函数Ih(x),计算各节点间中点处的Ih(x)与f(x)值,并估计误差。 解:
若x0??5,x10?5 则步长h?1,
xi?x0?ih,i?0,1,L,10
f(x)?1 21?x在小区间[xi,xi?1]上,分段线性插值函数为
Ih(x)?x?xi?1x?xif(xi)?f(xi?1)
xi?xi?1xi?1?xi11?(x?x) i1?xi21?xi?12 ?(xi?1?x)各节点间中点处的Ih(x)与f(x)的值为 当x??4.5时,f(x)?0.0471,Ih(x)?0.0486 当x??3.5时,f(x)?0.0755,Ih(x)?0.0794 当x??2.5时,f(x)?0.1379,Ih(x)?0.1500 当x??1.5时,f(x)?0.3077,Ih(x)?0.3500 当x??0.5时,f(x)?0.8000,Ih(x)?0.7500
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误差
h2maxf(x)?Ih(x)?maxf??(?) xi?x?xi?18?5?x?51 21?x?2x?f?(x)?,22(1?x)又Qf(x)?6x2?2f??(x)?(1?x2)324x?24x3f???(x)?(1?x2)4令f???(x)?0
得f??(x)的驻点为x1,2??1和x3?0
1f??(x1,2)?,f??(x3)??22 1?maxf(x)?Ih(x)??5?x?5418.求f(x)?x在[a,b]上分段线性插值函数Ih(x),并估计误差。 解:
在区间[a,b]上,x0?a,xn?b,hi?xi?1?xi,i?0,1,L,n?1,
2h?maxhi0?i?n?1Qf(x)?x2
?函数f(x)在小区间[xi,xi?1]上分段线性插值函数为
Ih(x)??x?xi?1x?xif(xi)?f(xi?1)xi?xi?1xi?1?xi12[xi(xi?1?x)?xi?12(x?xi)]hi
误差为
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