高中数学 §3.2立体几何中的向量方法（二）利用向量方法求
角学案 新人教A版选修2-1
—— 利用向量方法求角
知识点一 求异面直线所成的角
已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1的所有棱长都是1，且∠A1AB＝∠A1AD＝∠BAD
＝60°，E、F分别为A1B1与BB1的中点，求异面直线BE与CF所成角的余弦值．
解 如图所示，
解 如图所示， 设
AB = a，AD = b，AA1 = c.
则| a | = | b | = | c | =1，
〈 a,b〉=〈b,c〉=〈a,c〉= 60°,
1， 21而BE =BB1 +B1E = ?a + c.
21CF = CB+BF = ?b + c,
2∴a·b = b·c = a·c = ∴|BE|＝ 13322
|a|＋|c|－a·c＝，|CF|＝. 422
1??1??∴BE·CF＝?－a＋c?·?－b＋c?
2??2??11121
＝a·b－a·c－b·c＋c＝， 2428cos〈BE，CF〉＝
BE?CFBE?CF1
= , 6
1
∴异面直线BE与CF夹角的余弦值是.
6
1
【反思感悟】 在解决立体几何中两异面直线所成角的问题时，首选向量法，利用向量求解．若能构建空间直角坐标系，求解则更为简捷方便.
正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是A1D1、A1C1的中点．求：异面直线AE
与CF所成角的余弦值．
解 不妨设正方体棱长为2，分别取DA、DC、DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系，则A(2,0,0)、C(0,2,0)、
E(1,0,2)、F(1,1,2)，由AE＝(－1,0,2)，
CF＝(1，－1,2)，得|AE|＝5，|CF|＝6.
∴AE·CF＝－1＋0＋4＝3. 又
AE·CF = |AE|·|CF|·
CF〉,
30, 10cos
〈AE,CF〉
=30 cos〈AE,
∴cos〈
AE,CF〉=∴异面直线AE与CF所成角的余弦值为知识点二 求线面角
30 10 正三棱柱ABC—A1B1C1的底面边长为a，侧棱长为2a，求AC1与侧面ABB1A1所
成的角．
解 方法一
建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(0，a,0)， A1(0,0，2a)，C1?－有
??3a??a?
a，，2a?，取A1B1中点M，则M?0，2，2a?，连结AM、MC1，
??22?
2
3??
MC1＝?－a，0，0?，AB＝(0，a,0)，AA1＝(0,0，2a)，
?2?由于
MC1·AB = 0，MC1·AA1= 0，
∴MC1⊥面ABB1A1.
∴∠C1AM是AC1与侧面A1B所成的角θ. ∵
a3a???AC1 = ?－a，，2a? ,AM＝??0，2，2a?， ??2?2?
2
2
a9a2
∴AC1·AM＝0＋＋2a＝.
44而|AC1|＝
2
3aa2
＋＋2a＝3a， 44a32
＋2a＝a， 42
9a
4
2
22
|AM|＝
∴cos〈AC1 , AM〉＝
3a3a×
2
＝
3. 2
∴〈AC1，AM〉＝30°， 即AC1与侧面AB1所成的角为30°. 方法二 (法向量法)(接方法一)
AA1,＝(0,0，2a)，AB＝(0，a,0)，
设侧面A1B的法向量n＝(λ，x，y)． →
∴n·AB＝0且n·AA1＝0 ∴ax＝0，且2ay＝0.
∴x＝y＝0，故n＝(λ，0,0)． ∵AC1＝?－
??3a?a，，2a?， 22?
∴cos〈AC1,n〉＝
n?AC1n?AC13a2????2???3a???.
1
设所求线面角为θ，则sinθ＝|cos〈.AC1，n〉|＝，θ＝30°.
2
【反思感悟】】 充分利用图形的几何特征建立适当的空间直角坐标系，再用向量有关知识求解线面角．方法二给出了一般的方法，先求平面法向量与斜线夹角，再进行换算．
3
如图所示，已知直角梯形ABCD，其中AB＝BC＝2AD，AS⊥平面ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，且AS＝AB.求直线SC与底面ABCD的夹角θ的余弦．
解 由题设条件知，可建立以AD为x轴，AB为y轴，AS为z轴的空间直角坐标系(如
?1?图所示)．设AB＝1，则A(0,0,0)，B(0,1,0)，C(1,1,0)，D?，0，0?，S(0,0,1)． ?2?
→
∴AS＝(0,0,1)， CS＝(－1，－1,1)．
AS是底面的法向量，它与已知向量→CS是底面的法向量，
→→
AS·CS13→
它与已知向量CS的夹角β＝90°－θ，故有sinθ＝cosβ＝＝＝，
→→3|AS||CS|1×3于是cosθ＝1－sinθ＝知识点三 求二面角
2
6. 3
如图，四棱锥P－ABCD中，PB⊥底面ABCD，CD⊥PD，底面ABCD为直角梯形，
AD∥BC，AB⊥BC，AB＝AD＝PB＝3.点E在棱PA上，且PE＝2EA.求二面角A－BE－D的余弦值．
解 以B为原点，以BC、BA、BP分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系． 设平面EBD的一个法向量为n1＝(x，y,1)，
→
因为BE＝(0,2,1)，BD＝(3,3,0)，
??2y＋1＝0?n1?BE?0,?由?得?
?3x＋3y＝0??n1?BD?0,?
，
4
1x＝??2所以?1
y＝－??2
，
11
于是n1＝(，－，1)．
22又因为平面ABE的一个法向量为
n2＝(1,0,0)， 所以，cos〈n1，n2〉＝
16＝6. 6
6. 6
所以，二面角A－BE－D的余弦值为
【反思感悟】 几何法求二面角，往往需要作出平面角，这是几何中一大难点，而用向量法求解二面角无需作出二面角的平面角，只需求出平面的法向量，经过简单运算即可，从而体现了空间向量的巨大作用．
若PA⊥平面ABC，AC⊥BC，PA＝AC＝1，BC＝2，求二面角A—PB—C的余
弦值．
解
如图所示，建立空间直角坐标系，则
A(0,0,0)，B(2，1,0)，C(0,1,0)，P(0,0,1)，
→
AP＝(0,0,1)，AB＝(2，0,0)， CP＝(0，－1,1)，
设平面PAB的法向量为m＝(x，y，z)
??m?AP?0,则?? ??m?AB?0,?x，y，z·0，0，1＝0?
2，1，0＝0?x，y，z·
?y＝－2x
??
?z＝0
，
令x＝1，则m＝(1，－2，0)．
设平面PBC的法向量为n＝(x′，y′，z′)，则
??n?CB?0,???n?CP?0,?2，0，0＝0?x′，y′，z′·
?
?x′，y′，z′·0，－1，1＝0
5
???x′＝0，?
?y′＝z′?
.
高中数学 §3.2立体几何中的向量方法(二)利用向量方法求角学案 新人教A版选修2-1
