数学软件Mathematica在高等数学中的应用
孔祥强
【摘 要】Mathematica是应用广泛的数学软件，具有强大的数值计算和绘图功能.针对高等数学内容抽象、计算繁琐的特点，通过具体案例，利用Mathematica软件绘图和计算，通过编程，实现了教学内容的直观化、交互化，提升了教学质量，提高了教学效率，激发起学生的学习兴趣. 【期刊名称】赤峰学院学报（自然科学版） 【年(卷),期】2015(031)019 【总页数】3
【关键词】Mathematica；数学软件；绘图；应用
Mathematica软件是一款集符号计算、数值运算和绘图功能于一身的数学类软件.其主要特点有：(1)入门简单，命令多样，易操作；(2)软件的编程语言简单，便于编程；(3)强大的绘图功能，可绘制平面图形和空间图形；(4)可与MATLAB软件、Maple软件之间互相调用[1].高等数学是高等院校学生重要的基础课程，对学生专业课的学习有很好的辅助作用，而高等数学的内容比较抽象，概念较难理解，计算较繁琐，使得部分同学不知如何学这门课.为了提高学习的积极性，调动起学习的主动性，在大学课堂里引入数学软件是一种非常好的教学模式.通过Mathematica软件，将抽象的内容以图形的方式展现出来，方便观察或验证一些规律和结论[2].Mathematica软件学生版的出现，学生们使用起来会更加方便[3].
文章通过案例，说明了软件在函数极值、立体体积、中值定理和二次型中的具体应用.
1 Mathematica软件在求函数极值中的应用
一元函数求极值，主要的是利用一阶导数和二阶导数的知识，一般计算量不大.而二元函数求极值，用到二阶偏导数，计算量大.利用软件，可快速求出驻点，判断在二阶偏导处的值，得出极值点，通过作图，直观理解所求的极值点在图形上的位置，加深对多元函数极值点的理解.
案例1 求s(x,y)=x3-2y3+6x2+3y2+9x-9的极值，并通过作图对结果进行说明.源程序如下
求出驻点的坐标为(-3,0)，(-3,1)，(-1,0)，(-1,1). 求出在驻点处的AC-B2的值、A的值、s(x,y)的值为 {-36,-6,-9}，{36,-6,-8}，{36,6,-13}，{-36,6,-12} 在点(-3,0)处，AC-B2=-36<0，故不是极值点；
在点(-3,1)处，AC-B2=36>0，故是极值点，又 A=-6<0，是极大值点； 在点(-1,0)处，AC-B2=36>0，故是极值点，又 A=6>0，是极小值点； 在点(-1,1)处，AC-B2=-36<0，故不是极值点.
因此s(x,y)在(-3,1)处取得极大值，为-8；在(-1,0)处取得极小值，为-13. 作出函数s(x,y)的图形
从图1明显得出，函数有两个极值点.在Mathematica窗口下，用鼠标点击图形，任意改变视角，可方便观察两个极值点的位置，比较极值点和周围点所对应的函数值，深刻理解极值的概念.
除了上面的方法，还可用等高线研究s(x,y)的极值.调用ContourPlot命令， 从上图看出，s(x,y)有两个极值点，分别为(-3,1)和(-1,0)，验证了所求的结论是正确的.
2 Mathematica软件在求空间立体体积中的应用
要求空间立体的体积，首先应作出立体图形，再选择用直角坐标、极坐标、柱面坐标或球面坐标.利用软件，可方便作图.
案例2 求由平面x=0,y=0,z=0,x+y=-1及曲面z=8-3x2-3y2所围成的立体Ω的体积，并作图.
由于Ω为空间立体，首先应该清楚Ω的形状和在坐标面上的投影，然后用二重积分来求Ω的体积.调用Mathematica软件的ParametricPlot3D命令，作出三个坐标面x-0,y=0,z=0、柱面x+y=-1、抛物面z=8-3x2-3y2的图形.程序如下
Ω在坐标面x=0上的投影为直角三角形，见图4.
分析清楚Ω的空间形状和在坐标面上的投影后，利用Integrate命令，就可求出Ω的体积，
3 Mathematica软件在中值定理中的应用
高等数学中的泰勒定理非常抽象，较难掌握.麦克劳林公式作为泰勒定理的特例[4]，一般考察函数的麦克劳林展式.
案例3 求函数的1,2,3,4阶麦克劳林展式，并在同一界面下作出它们的图形. 若函数f(x)在点x0=0的某领域内U(x0)内有n+1阶导数，f(x)在x0=0处的n阶麦克劳林展式为
调用Series命令，得展开式. 调用Plot命令，作出图形.
在Mathematica窗口下，可动态观察各阶曲线与函数f(x)=1/(1+x)2的逼近程度，阶数越高，和函数的逼近程度越好，误差很小.
数学软件Mathematica在高等数学中的应用
