七数培优竞赛讲座第14讲 一次方程组的应用

第十四讲 一次方程组的应用

一次方程组是解决许多实际问题的有力工具，它被广泛地应用于社会生活的多个领域，主要体现在：

首先，用于解代数式的化简与求值问题，一些表面与方程组无关的问题，但经过分析，借助有关概念、性质、对问题的理解，我们可通过建立一次方程组来解决．

其次，用于解应用题，对于含有多个未知量的问题，我们运用方程组求解往往比单设一个未知数建立一元方程求解容易．一般说来，许多应用题既可用列方程来解，又可用列方程组来解，它们有各自的优缺点．因此，解题时需具体问题具体分析，当列方程比较困难时，可改用列方程组来解决问题．

例题 【例1】 x?2y?3z?10,4x?3y?2z?15，则x?y?z= ．

(广东省中考题)

思路点拨 三个未知数两个等式x、y、z的值不惟一确定，不妨视其中一个字母为常数，解关于另外两个字母的方程组．

【例2】 方程x?2y?3?x?y?1?1的整数解的个数是( )．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 (“五羊杯”邀请赛试题)

思路点拨 把1表示成两个非负整数的和，这两个数只能是0与l，于是一个等式可裂变为两个等式．

注：当方程的个数少于未知数的个数时，未知数的值不能惟一确定，可视某个未知数为常量，实现变量与常量的互相转化，促使问题的解决．本例解法多样，可寻求待等式与已知式的关系，或设x?y?z?k，重新联立解三元一次方程组，读者不妨一试． 【例3】 项王故里的门票价格规定如下表： 购票人数 每人门票价 l～50人 5元 51～100人 4．5元 100人以上 4元 某校初一甲、乙两班共103人(其中甲班人数多于乙班人数)去游项王故里，如果两班都以班为单位分别购票，一共需付486元．

(1)如果两班联合起来，作为一个团体购票，则可以节约多少元钱? (2)两班各有多少名学生? (宿迁市中考题)

思路点拨 设甲班有x名学生，乙班有y名学生，则有以下三种可能情况：51≤x≤100，1≤y≤50；51≤x≤100，5l≤y≤100；x>100，1≤y≤50．故分类讨论是解本例的关键．

【例4】 某工程由甲、乙两队合做6天完成，厂家需付甲、乙两队共8700元；乙、丙两队合做10天完成，厂家需支付乙、丙两队共9500元；甲、丙两队合做5天完成全部工程的

2，厂家需付甲、丙两队共5500元．现在厂家要求不超过15天完成全部工程，可由哪3队单独完成此项工程花钱最少?请说明理由． (天津市中考题)

思路点拨 求出每队工作效率及每天需支付每队的费用，通过计算比较，进行正确的经济决策．

【例5】 某果晶商店进行组合销售，甲种搭配：2千克A水果，4千克6水果；乙种搭配：3千克A水果．8千克B水果，1千克C水果；丙种搭配：2千克A水果，6千克B水果，l千克C水果．已知A水果每千克2元，B水果每千克1．2元，C水 果每千克10元．某天该商店销售这三种搭配水果共441．2元．其中A水果的销售额为116元，问C水果的销售额为多少元? (全国初中数学联赛试题) 思路点拨 数据多、关系复杂是解本例的难点，运用表格可以帮助我们梳理复杂的数量关系，商店每天销售额与甲、乙、丙三种搭配的销量有关，故不宜直接设元，从求出甲、乙、丙三种搭配的套数人手，运用整体方法求解． 注： 现代社会信息化社会，各种信息以各种不同的方式出现在人们面前，用表格的形式．给出已知信息，是近年中考应用题的新特点，解速类问题的关键是： (1)从表头中了解对象，从表列(行)中得到数据； (2)处理数据，寻找隐含的规律．

在信息化社会，我们时刻面对著汹涌而来的各种数字、数据，对数据进行恰当分析处理，发现规律，作出判断，是现代人必备的基本素养．

【例6】 两辆汽车从同一地点同时出发，沿同一方向同速直线前进，每车最多能带24桶汽油，每桶汽油可以使一辆车前进60km，两车都必须返回出发地点，但可以不同时返回，两车均可以借对方的油，为了使一辆车尽可能地远离出发点，另一辆车应该在离出发点 km的地方返回．

思路点拨 要使甲车尽量走远，应使两车分别时甲车装满24桶汽油，而乙车留下供两车返回时所用的油．

设从开始出发到分别，甲、乙车各用了x桶油，则乙车应留下2x桶油，并借给甲车x桶油，使甲车装满24桶油，依据题意，列方程 x＋x＋2x=24． 解得x=6．

60×6=360(km)．

所以，乙车应在离出发点360km处返回．

注： 解应用题关键在于挖掘题目隐舍的等量关系，用来列代数式或建立方程．

【例7】甲、乙两人分别从A、B两地同时相向匀速前进，第一次相遇在距A点700m处，然后继续前进，甲到B地，乙到A地后都立即返回，第二次相遇在距B点400m处，求A、B两地间的距离是多少米?

思路点拨 设A、B两地间的距离是xm，第一次相遇甲走了700m，第一次相遇后到第二次相遇甲走了(x—700)+400=(x-300)m，因为甲、乙两入速度不变，甲、乙两人第一次相遇共走了xm，第一次相遇后到第二次相遇两人共走了2xm，所用时间是第一次相遇所用时间的2倍，所以甲第一次相遇后到第二次相遇所走路程应为第一次相遇所走路程的2倍，即 x-300=2 ×700．

解得x=1700m

所以，A、B两地间的路程是1700 m．

注： 弄清以下问题是解题的关键：(1)甲、乙两人从开始到相遇所用时间有什么关系?(2)所走路程之和是多少?(3)第一次相遇后到第二次相遇，甲、乙两人所走路程之和是多少?(4)所用时间是第一次相遇时间的几倍?

【例8】 快、慢两列车的长分别为150m，200m，相向行驶在平行轨道上，若坐在慢车上的人见快车驶过窗口的时间为6s，问坐在快车上的人见慢车驶过窗口所用的时间是多少?

思路点拨 设坐在快车上的人见慢车驶过窗口所用的时间为xs．由于两列车相向行驶的相对速度是一样的，所以坐在车上看另一辆车驶过窗口的时间与车长成正比，

由题意得6：x=150：200． 解得x=8(s)

答：坐在快车上的人看见慢车驶过窗口用的时间为8s．

【例9】 小刚骑自行车沿公路以akm／min的速度前进，每隔bmin迎面开来一辆公共汽车，每隔cmin(c＞b)从后面开过一辆公共汽车．若汽车均为相同的速度，始、终点发车间隔时间相同，求汽车的速度和发车的间隔时间．

思路点拨 设汽车速度为xkm／min，发车的间隔时间为tmin．

a(c?b)?x???(a?x)b?txc?b 依题意有?，解得?2bc?(x?a)c?tx?t?b?c? 【例10】 四十只脚的蜈蚣和三个头的龙在同一个笼中，共有26个头和298只脚，如果

40只脚的蜈蚣只有一个头，那么三个头的龙有几只脚?

思路点拨 设蜈蚣和龙的个数分别为x、y，三个头的龙的脚数为n，x、y、n均为正整数．

依题意得??x?3y?26?(1)

40x?ny?298?(2)? ①×40—②得(120—n)y=742，

y│742，742=1 ×2×7 ×53， 又∵3y

注意题中隐合了条件：只数、脚数均为正整数．

【例11】 (重庆市中考题) 某中学新建了一栋4层的教学大楼，每层楼有8间教室，进出这栋大楼共有4道门，其中两道正门大小相同，两道侧门大小也相同。安全检查中，对4道门进行了测试：当同时开启一道正门和两道侧门时，2分钟内可以通过560名学生；当同时开启一道正门和一道侧门时，4分钟内可以通过800名学生。 （1）求平均每分钟一道正门和一道侧门各可以通过多少名学生？

（2）检查中发现，紧急情况时因学生拥挤，出门的效率将降低20％。安全检查规定：在紧急情况下全大楼的学生应在5分钟内通过这4道门安全撤离。假设这栋教学大楼每间教室最多有45名学生，问：建造的这4道门是否符合安全规定？请说明理由。

思路点拨 (1)设平均每分钟一道正门可以通过x名学生，一道侧门可以通过y名学生．由题意得??2(x?2y)?560?x?120，解?

?4(x?y)?800?y?80答：平均每分钟一道正门可以通过120名学生，一道侧门可以通过80名学生． (2)这栋楼最多有学生4×8×45=1440名，拥挤时5min4道门能通过学生： 5×2(120+80)×(1-20％)=1600名． ∵ 1600>1440，

∴ 建造的4道门符合安全规定．

【例12】甲、乙、丙三人共解出100道数学题，每人都解出其中的60道题，将其中只有1人解出的题叫做难题，3人都解出的题叫做容易题，试问：难题多还是容易题多?(多的比少的)多几道题?

思路点拨 设共有x道题难题，y道容易题，中等难度的题为z道，则 ??x?y?z?100?(1)

x?3y?2z?180?(2)? 由①×2—②，得x-y=20． 答：难题比容易题多20道．

注 本题有三个未知数：难题个数、容易题个数、正好两人解出的题(中等难度的题)的个数，有两个等量关系：(1)难度个数+容易题个数+中等难度题个数=100．(2)难题个数+容易题个数×3+中等难度题个数×2=60×3．故需设辅未知数．

学力训练

?mx?ny?z?7?1．已知x?2,y??1,z??3是三元一次方程组?2nx?3y?2mz?5的解，则

?x?y?z?k?m2?7n?3k= ．

2．写出一个以??x?0为解的二元一次方程组 ．

?y?7 (绍兴市中考题)

3．某种电器产品，每件若以原定价的95折销售，可获利150元，若以原定价的75折销售，则亏损50元，该种商品每件的进价为 元． ( “希望杯”邀请赛试题)

4．如图，用8块相同的长方形地砖拼成一个矩形，则每个长方形地砖的面积是( )． A．200cm2 B．300 cm2 C．600 cm2 D．2400 cm2 (黑龙江省中考题)

5．某商场根据市场信息，对商场中现有的两台不同型号的空调进行调价销售，其中一台空调调价后售出可获利10％(相对于进价)，另一台空调调价后售出则要亏本10％(相对于进价)，而这两台空调调价后的售价恰好相同，那么商场把这两台空调调价后售出( )． A．既不获利也不亏本 B．可获利l％ C．要亏本2％ D．要亏本l％ (无锡市中考题)

6．甲是乙现在的年龄时，乙l0岁；乙是甲现在的年龄时，甲25岁，那么( )． A．甲比乙大5岁 B．甲比乙大10岁 C．乙比甲大lo岁 D．乙比甲大5岁

(全国初中数学竞赛题) 7．某班进行个人投篮比赛，受污损的下表记录了在规定时间内投进n个球的人数分布情况，同时，已知进球3个或3个以上的人平均每人投进3．5个球；进球4个或4个以下的人平均每人投进2.5个球．问投进3个球和4个球的各有多少人．

8．甲、乙两班学生到集市上购买苹果，苹果的价格如下： 购苹果数 每千克价格 不超过30千克 3元 30千克以上但不超过50千克 2．5元 50千克以上 2元 甲班分两次共购买苹果70千克(第二次多于第一次)，共付出189元，而乙班则一次购买苹果70千克．

(1)乙班比甲班少付出多少元?

(2)甲班第一次、第二次分别购买苹果多少千克? (常州市中考题)

9．已知某电脑公司有A型、B型、C型三种型号的电脑，其价格分别为A型每台6000元，B型每台4000元，C型每台2500元．我市东坡中学计划将100500元钱全部用于从该电脑公司购进其中两种不同型号的电脑共36台，请你设计出几种不同的购买方案供该校选择，并说明理由．

(黄冈市中考题)

10．若x、y满足x?3y?3x?y?19,2x?y?6，则x= ，y= ． 11．已知x?2y?z?8,2x?y?z?18，则8x?y?z＝ ． (重庆市竞赛题)

12．如图，a、b、c、d、e、f均为有理数，图中各行、各列及两条对角线上三个数的和

都相等，则a?b?c?d?e?f的值是 ．(上海市竞赛题)

13．甲、乙分别自A、B两地同时相向步行，2小时后在中途相遇．相遇后，甲、乙步行速度都提高了1千米/小时．当甲到达B地后立刻按原路向A地返行，当乙到达A地后也立刻按原路向B地返行．甲、乙两人在第一次相遇后3小时36分钟又再次相遇，则A、B两地的距离是 千米．

( “希望杯”邀请赛试题)

14，已知m2+2mn＝384，3mn+2n2＝560，则2m2+13mn+6n2一444的值是( )．

A．2001 B．2002 C．2003 D．2004 (太原市竞赛题)

15．在一家三口人中，每两人的平均年龄加上余下一人的年龄分别得到47、61、60，那么这三个人中最大年龄与最小年龄的差是( )． A．28 B．27 C．26 D． 25

16．买20枝铅笔、3块橡皮擦、2本日记本需32元；买39枝铅笔，5块橡皮擦、3本日记本需58元；则买5枝铅笔、5块橡皮擦、5本日记本需( )． A．20元 B。25元 C，30元 D．35元