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1.1 变化率与导数 1.1.1 变化率问题 1.1.2 导数的概念
1．通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景．
2．会求函数在某一点附近的平均变化率．(重点)
3．会利用导数的定义求函数在某点处的导数．(重点、难点) 4．理解函数的平均变化率，瞬时变化率及导数的概念．(易混点)
[基础·初探]
教材整理1 函数的平均变化率
阅读教材P2～P4“思考”以上部分，完成下列问题． 1．函数的平均变化率
(1)对于函数y＝f(x)，给定自变量的两个值x1，x2，当自变量x从x1变为x2时，函数值从f(x1)变为f(x2)，我们把式子____________称为函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率．
(2)习惯上用Δx表示x2－x1，即Δx＝________，可把Δx看作是相对于x1的一个“增量”，可用x1＋Δx代替x2；类似地，Δy＝________.于是，平均变化率可表示为________．
2．平均变化率的几何意义
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设A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))是曲线y＝f(x)上任意不同的两点，函数y＝f(x)Δyf?x2?－f?x1?f?x1＋Δx?－f?x1?
的平均变化率Δx＝＝为割线AB的______，如图1-1-1
Δxx2－x1所示．
图1-1-1
【答案】 1.(1)
f?x2?－f?x1?Δy
(2)x2－x1 f(x2)－f(x1) Δx 2.斜率
x2－x1
判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)由Δx＝x2－x1，知Δx可以为0.( )
(2)Δy＝f(x2)－f(x1)是Δx＝x2－x1相应的改变量，Δy的值可正，可负，也可为零，因此平均变化率可正，可负，可为零．( )
Δyy2－y1
(3)对山坡的上、下两点A，B中，Δx＝可以近似刻画山坡的陡峭程
x2－x1度．( )
【答案】 (1)× (2)√ (3)√ 教材整理2 瞬时速度、导数的概念
阅读教材P4～P6“例1”以上部分，完成下列问题． 1．瞬时速度
(1)物体在__________的速度称为瞬时速度．
(2)一般地，设物体的运动规律是s＝s(t)，则物体在t0到t0＋Δt这段时间内Δss?t0＋Δt?－s?t0?Δs
的平均速度为Δt＝.如果Δt无限趋近于0时，ΔtΔt无限趋近于某个常Δs
数v，我们就说当Δt趋向于0时，Δt的________是v，这时v就是物体在时刻ts?t0＋Δt?－s?t0?Δs
＝t0时的瞬时速度，即瞬时速度v＝lim Δt＝lim . ΔtΔt →0Δt →0
2．导数的定义
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函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是
f?x0＋Δx?－f?x0?Δy
lim Δx＝lim ，我们称它为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，
Δx
Δx→0
Δx→0
Δy
记作____________________，即f′(x0)＝lim Δx＝lim _________.
Δx→0Δx→0
【答案】 1.(1)某一时刻 (2)极限 2．f′(x0)或y′|x＝x0
f?x0＋Δx?－f?x0?
Δx
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数值与Δx值的正、负无关．( ) (2)瞬时变化率是刻画某函数值在区间[x1，x2]上变化快慢的物理量．( ) (3)在导数的定义中，Δx，Δy都不可能为零．( )
【解析】 (1)由导数的定义知，函数在x＝x0处的导数只与x0有关，故正确． (2)瞬时变化率是刻画某一时刻变化快慢的物理量，故错误． (3)在导数的定义中，Δy可以为零，故错误． 【答案】 (1)√ (2)× (3)×
2．函数f(x)＝x2在x＝1处的瞬时变化率是________． 【解析】 ∵f(x)＝x2.∴在x＝1处的瞬时变化率是 f?1＋Δx?－f?1?Δy
lim Δx＝lim
ΔxΔx→0Δx→0?1＋Δx?2－12
＝lim ΔxΔx→0
＝lim (2＋Δx)＝2.
Δx→0
【答案】 2
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人教新课标版数学高二选修2-2讲义 1.1.1变化率问题 导数的概念
