第2讲 三角恒等变换与解三角形
[做真题]
题型一 三角恒等变换
π
0，?，2sin 2α＝cos 2α＋1，则sin α＝( ) 1．(2019·高考全国卷Ⅱ)已知α∈??2?1
A．
5C．
3 3
B．5 5
25D．
5
解析：选B．由2sin 2α＝cos 2α＋1，得4sin αcos α＝1－2 sin2α＋1，即2sin αcos α＝1－sin2α.π
0，?，所以cos α＝因为α∈??2?故选B．
12．(2018·高考全国卷Ⅲ)若sin α＝，则cos 2α＝( )
38
A．
97C．－
9
解析：选B．cos 2α＝1－2sin2α 1?7
＝1－2×??3?＝9.
π?33．(2016·高考全国卷Ⅱ)若cos??4－α?＝5，则sin 2α＝( ) 7A．
25
1B． 5
2
1－sin2α，所以2sin α1－sin2α＝1－sin2 α，解得sin α＝
5，5
7B． 98D．－
9
1C．－
57D．－
25
πππ23
－α?＝coscos α＋sin sin α＝(sin α＋cos α)＝，所以sin α＋解析：选D．因为cos??4?442532187
cos α＝，所以1＋sin 2α＝，所以sin 2α＝－，故选D．
52525
题型二 三角形中的边角计算问题
C51．(2018·高考全国卷Ⅱ)在△ABC中，cos＝，BC＝1，AC＝5，则AB＝( )
25A．42 C．29
B．30 D．25
C5C35?2?2解析：选A．因为cos ＝，所以cos C＝2cos－1＝2×－1＝－.于是，在△ABC
2525?5?3
－?＝32，所以AB中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos C＝52＋12－2×5×1×??5?＝42.故选A．
4
2．(2016·高考全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A＝，cos
55
C＝，a＝1，则b＝________．
13
45
解析：因为cos A＝，cos C＝，
513312
所以sin A＝，sin C＝，
513
63
sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C＝，
65baasin B63521
由正弦定理＝，得b＝＝×＝.
sin Bsin Asin A6531321
答案：
13
3．(2019·高考全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设(sin B－sin C)2
＝sin2A－sin Bsin C．
(1)求A；
(2)若2a＋b＝2c，求sin C．
解：(1)由已知得sin2B＋sin2C－sin2A＝sin Bsin C，故由正弦定理得b2＋c2－a2＝bc. b2＋c2－a21由余弦定理得cos A＝＝. 2bc2
因为0°＜A＜180°，所以A＝60°.
(2)由(1)知B＝120°－C，由题设及正弦定理得2sin A＋sin(120°－C)＝2sin C，即12cos C＋sin C＝2sin C，可得cos(C＋60°)＝－. 22
由于0°＜C＜120°，所以sin(C＋60°)＝故sin C＝sin(C＋60°－60°)
＝sin(C＋60°)cos 60°－cos(C＋60°)sin 60° 6＋2＝.
4
题型三 与三角形面积有关的问题
1．(2018·高考全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC的面积a2＋b2－c2
为，则C＝( )
4
πA．
2πC．
4
πB． 3πD．
62， 2
63＋22
a2＋b2－c2a2＋b2－c21
解析：选C．根据题意及三角形的面积公式知absin C＝，所以sin C＝
242abπ
＝cos C，所以在△ABC中，C＝.
4
2．(2019·高考全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b＝6，a＝2c，π
B＝，则△ABC的面积为________．
3
π
解析：法一：因为a＝2c，b＝6，B＝，所以由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，得62＝
3π11
(2c)2＋c2－2×2c×ccos ，得c＝23，所以a＝43，所以△ABC的面积S＝acsin B＝×43
322π
×23×sin ＝63. 3
π
法二：因为a＝2c，b＝6，B＝，所以由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，得62＝(2c)2＋
3ππ
c2－2×2c×ccos ，得c＝23，所以a＝43，所以a2＝b2＋c2，所以A＝，所以△ABC的
321
面积S＝×23×6＝63.
2
答案：63
3．(2019·高考全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知asin bsin A.
(1)求B；
(2)若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围． 解：(1)由题设及正弦定理得 A＋Csin Asin＝sin Bsin A.
2
A＋C
因为sin A≠0，所以sin＝sin B．
2
A＋CBBBB
由A＋B＋C＝180°，可得sin＝cos，故cos＝2sincos. 22222BB1
因为cos≠0，故sin＝，因此B＝60°.
222(2)由题设及(1)知△ABC的面积S△ABC＝3
a. 4
A＋C
＝2
－C)csin Asin(120°31
由正弦定理得a＝＝＝＋. sin Csin C2tan C2由于△ABC为锐角三角形，故0° 133 所以30° 282因此，△ABC面积的取值范围是? 33? . ，2??8 [明考情] 1．高考对此部分的考查一般以“二小”或“一大”的命题形式出现． 2．若无解答题，一般在选择题或填空题各有一题，主要考查三角恒等变换、解三角形，难度一般，一般出现在第4～9题或第13～15题位置上． 3．若以解答题形式出现，主要考查三角函数与解三角形的综合问题，一般出现在解答题第17题位置上，难度中等． 三角恒等变换与求值 [考法全练] 1．(2019·高考全国卷Ⅰ)tan 255°＝( ) A．－2－3 C．2－3 B．－2＋3 D．2＋3 解析：选D．由正切函数的周期性可知，tan 255°＝tan(180°＋75°)＝tan 75°＝tan(30°＋45°)3＋13＝＝2＋3，故选D． 31－ 3 π4 －α?＝，则sin 2α＝( ) 2．(一题多解)(2019·福建五校第二次联考)已知cos??4?51 A． 5 1B．－ 5
2020版高考理科数学突破二轮复习新课标通用讲义：专题一 第2讲 三角恒等变换与解三角形含答案
