基本不等式应用
一．基本不等式
a2?b21.（1）若a,b?R，则a?b?2ab (2)若a,b?R，则ab?（当且仅当a?b时取“=”）
2a?b**2. (1)若a,b?R，则） ?ab (2)若a,b?R，则a?b?2ab（当且仅当a?b时取“=”
222a?b? (当且仅当
(3)若a,b?R，则ab??） a?b时取“=”???2?*23.若x?0，则x?11“=”）;若x?0，则x???2 (当且仅当x??1时取“=”） ?2 (当且仅当x?1时取
xx若x?0，则x?1?2即x?1?2或x?1?-2 (当且仅当a?b时取“=”） xxx3.若ab?0，则a?b?2 (当且仅当a?b时取“=”） ba若ab?0，则
ababab） ??2即??2或??-2 (当且仅当a?b时取“=”
bababaa?b2a2?b2（当且仅当a?b时取“=”） )?22注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的
积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等”
(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值
例1：求下列函数的值域 4.若a,b?R，则(11
（1）y＝3x 2＋ 2 （2）y＝x＋
2xx1
解：（1）y＝3x 2＋ 2 ≥2
2x
1
3x 2· 2 ＝6 ∴值域为[6 ，+∞）
2x
1x· ＝2； x
1x· =－2 x
1
（2）当x＞0时，y＝x＋ ≥2x
11
当x＜0时， y＝x＋ = －（－ x－ ）≤－2
xx∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）
解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知x?5，求函数y?4x?2?1的最大值。 44x?51解：因4x?5?0，所以首先要“调整”符号，又(4x?2)g不是常数，所以对4x?2要进行拆、凑项，
4x?5511??Qx?,?5?4x?0，?y?4x?2????5?4x???3??2?3?1
44x?55?4x??当且仅当5?4x?1，即x?1时，上式等号成立，故当x?1时，ymax?1。 5?4x评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。
技巧二：凑系数 例1. 当时，求y?x(8?2x)的最大值。
解析：由知，，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到2x?(8?2x)?8为定值，故只需将y?x(8?2x)凑上一个系数即可。
当，即x＝2时取等号 当x＝2时，y?x(8?2x)的最大值为8。 评注：本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值。 变式：设0?x?3，求函数y?4x(3?2x)的最大值。 2232x?3?2x?9?解：∵0?x?∴3?2x?0∴y?4x(3?2x)?2?2x(3?2x)?2??? 222??当且仅当2x?3?2x,即x?3?3???0,?时等号成立。 4?2?技巧三： 分离
x2?7x?10(x??1)的值域。 例3. 求y?x?1解析一：本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有（x＋1）的项，再将其分离。
当
,即
时,y?2（x?1)?4?5?9（当且仅当x＝1时取“＝”号）。 x?1技巧四：换元
解析二：本题看似无法运用基本不等式，可先换元，令t=x＋1，化简原式在分离求最值。
(t?1)2?7(t?1）+10t2?5t?44y?=?t??5
ttt4当,即t=时,y?2t??5?9（当t=2即x＝1时取“＝”号）。
t评注：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最
A?B(A?0,B?0)，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式来求最值。 g(x)a技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数f(x)?x?的单调性。
x值。即化为y?mg(x)?例：求函数y?x2?5x?42的值域。
2解：令x2?4?t(t?2)，则y?x?5?x2?4x2?4?1?t?(t?2)
tx2?41因t?0,t??1，但t?解得t??1不在区间?2,???，故等号不成立，考虑单调性。 因为y?t?在区间?1,???单调递增，所以在其子区间?2,???为单调递增函数，故y?1t1t1t5。 2所以，所求函数的值域为?,???。
练习．求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x 的值.
?5?2??11x2?3x?1y?2sinx?,x?(0,?) ,x?3 (3),(x?0) （2）y?2x? （1）y?sinxxx?32．已知0?x?1，求函数y?条件求最值
1.若实数满足a?b?2，则3?3的最小值是 .
分析：“和”到“积”是一个缩小的过程，而且3?3定值，因此考虑利用均值定理求最小值， 解： 3和3都是正数，3?3≥23a?3b?23a?b?6
ababx(1?x)的最大值.；3．0?x?2，求函数y?x(2?3x)的最大值. 3abab当3?3时等号成立，由a?b?2及3?3得a?b?1即当a?b?1时，3?3的最小值是6． 变式：若log4x?log4y?2，求
ababab11?的最小值.并求x,y的值 xy技巧六：整体代换：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。。 2：已知x?0,y?0，且
19??1，求x?y的最小值。 xy19????1，?x?y??1?9??x?y??292xy?12 故 ?x?y?min?12 。 xyxy?xy?错解：Qx?0,y?0，且．．
错因：解法中两次连用基本不等式，在x?y?2xy等号成立条件是x?y，在1?9?29等号成立xyxy条件是
19
?即y?9x,取等号的条件的不一致，产生错误。因此，在利用基本不等式处理问题时，列出xy
等号成立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否有误的一种方法。
?19?y9x19正解：Qx?0,y?0,??1，?x?y??x?y???????10?6?10?16
xy?xy?xy当且仅当
19y9x?时，上式等号成立，又??1，可得x?4,y?12时，?x?y?min?16 。
xyxy?变式： （1）若x,y?R且2x?y?1，求1?1的最小值
xy?(2)已知a,b,x,y?R且a?b?1，求x?xyy的最小值
(全)基本不等式应用_利用基本不等式求最值的技巧_题型分析
