初中数学竞赛辅导资料
第一讲数的整除
一、容提要：
如果整数A除以整数B(B≠0)所得的商A/B是整数,那么叫做A被B整除. 0能被所有非零的整数整除.
一些数的整除特征 除 数 2或5 4或25 3或9 11 能被整除的数的特征 末位数能被2或5整除 末两位数能被4或25整除 各位上的数字和被3或9整除(如771，54324) 奇数位上的数字和与偶数位上的数和相减,其差能被11整除 (如143,1859,1287,908270等) 8或125 末三位数能被8或125整除 7,11,13 从右向左每三位为一段,奇数段的各数和与偶数段的各数和相减,其差能被7或11或13整除.(如1001，22743，17567，21281等) 能被7整除的数的特征：
①抹去个位数 ②减去原个位数的2倍 ③其差能被7整除。
如 1001 100－2＝98（能被7整除）
又如7007 700－14＝686， 68－12＝56（能被7整除） 能被11整除的数的特征：
①抹去个位数 ②减去原个位数 ③其差能被11整除 如 1001 100－1＝99（能11整除）
又如10285 1028－5＝1023 102－3＝99（能11整除） 二、例题
例1已知两个三位数328和2x9的和仍是三位数5y7且能被9整除。
求x,y
解：x,y都是0到9的整数，∵5y7能被9整除，∴y=6. ∵328＋2x9＝567，∴x=3 例2已知五位数1234x能被12整除，求x
解：∵五位数能被12整除，必然同时能被3和4整除， 当1＋2＋3＋4＋x能被3整除时，x=2，5，8
第 1 页 （共 65 页）
当末两位4x能被4整除时，x＝0，4，8
∴x＝8
例3求能被11整除且各位字都不相同的最小五位数
解：五位数字都不相同的最小五位数是10234，
但（1＋2＋4）－（0＋3）＝4，不能被11整除，只调整末位数仍不行 调整末两位数为30，41，52，63，均可，
∴五位数字都不相同的最小五位数是10263。
练习一
1、分解质因数：（写成质因数为底的幂的连乘积）
①756②1859 ③1287 ④3276 ⑤10101 ⑥10296 2、若四位数987a能被3整除，那么 a=_______________ 3、若五位数12x34能被11整除，那么x＝__________ 4、当m=_________时，35m5能被25整除 5、当n=__________时，9610n能被7整除
6、能被11整除的最小五位数是________,最大五位数是_________ 7、能被4整除的最大四位数是____________，能被8整除的最大四位数是_________。 8、8个数：①125，②756，③1011，④2457，⑤7855，⑥8104，⑦9152，⑧70972中，能被下列各数整除的有（填上编号）：
6________,8__________,9_________,11__________
9、从1到100这100个自然数中，能同时被2和3整除的共_____个，能被3整除但不是5的倍数的共______个。
10、由1，2，3，4，5这五个自然数，任意调换位置而组成的五位数中，不能被3
整除的数共有几个？为什么？
第 2 页 （共 65 页）
11、已知五位数1234A能被15整除，试求A的值。
12、求能被9整除且各位数字都不相同的最小五位数。
13、在十进制中，各位数码是0或1，并能被225整除的最小正整数是______（1989年全国初中联赛题）
第二讲 倍数 约数
一、容提要
1、两个整数A和B（B≠0），如果B能整除A（记作B｜A），那么A叫做B的倍
第 3 页 （共 65 页）
南开中学初中数学竞赛辅导资料
