习题5-1
1? 利用定积分定义计算由抛物线y?x2?1? 两直线x?a、x?b(b?a)及横轴所围成的图形的面积?
解 第一步? 在区间[a? b]内插入n?1个分点xi?a?b?ai(i?1?
n2? ???? n?1)? 把区间[a? b]分成n个长度相等的小区间? 各个小区间的长度为? ?xi?b?a(i?1? 2? ???? n)?
n 第二步? 在第i个小区间[xi?1? xi] (i?1? 2? ???? n)上取右端点?i?xi?a?b?ai? 作和
nnn Sn??f(?i)?xi??[(a?b?ai)2?1]?b?a
nni?1i?1n(b?a)22b?a22a(b?a)[a?i?i?1] ??2ni?1nn(b?a)22a(b?a)n(n?1)(b?a)2n(n?1)(2n?1) ?[na?????n] 2nn2n6)(b?a)2(n?1)(2n?1)2a(b?a)(n?1 ?(b?a)[a???1]? 2n6n 第三步? 令??max{?x1? ?x2? ???? ?xn}?b?a? 取极限得所求面
n积
S??f(x)dx?lim?f(?i)?xi
abn??0i?1a(b?a)(n?1)(b?a)2(n?1)(2n?1) ?lim(b?a)[a???1] 2n??n6n ?(b?a)[a2?a(b?a)?1(b?a)2?1]?1(b3?a3)?b?a?
33 2? 利用定积分定义计算下列积分?
2 (1)?xdx(a?b)?
ab 解 取分点为xi?a?b?ai(i?1? 2? ???? n?1)? 则?xi?b?a(i?1? 2?
nn???? n)? 在第i个小区间上取右端点?i?xi?a?b?ai(i?1? 2? ???? n)? 于
n是
b?ai)?b?a xdx?lim??x?lim(a?iin????an???nni?1i?1b2nn(b?a)2n(n?1)122 ?(b?a)lim[a(b?a)?]?(b?a)? 2n??2n2 (2)?exdx?
01 解 取分点为xi?i(i?1? 2? ???? n?1)? 则?xi?1(i?1? 2? ???? n)? 在
nn第i 个小区间上取右端点?i?xi?i(i?1? 2? ???? n)? 于是
nnin12111x ?edx?lim?en?lim(en?en? ? ? ? ?en)
n??0nn??ni?1 ?lim1?n??ne[1?(e)]1?e1n1n1nn?limn??e[1?e]n(1?e)1n1n?e?1?
3? 利用定积分的几何意义??说明下列等式? (1)?2xdx?1?
01 解
?2xdx表示由直线y?2x、x轴及直线x?1所围成的面积?
011显然面积为1? (2)?1?x2dx???
04 解
?101?x2dx表示由曲线y?1?x2、x轴及y轴所围成的四
分之一圆的面积? 即圆x2?y2?1的面积的1?
41 ?1?x2dx?1???12???
044 (3)?sinxdx?0?
??? 解 由于y?sin x为奇函数? 在关于原点的对称区间[??? ?]上
与x轴所夹的面积的代数和为零? 即
????sinxdx?0?
?? (4)?2?cosxdx?2?2cosxdx?
20? 解
?, ?]一段所围[?cosxdx表示由曲线y?cos x与x轴上???2222?成的图形的面积? 因为cos x为偶函数? 所以此图形关于y轴对称? 因此图形面积的一半为?2cosxdx? 即
0?
??22??cosxdx?2?2cosxdx?
0? 4? 水利工程中要计算拦水闸门所受的水压力? 已知闸门上
水的压强p(单位面积上的压力大小)是水深h的函数? 且有p?9?8h (kN/m2)? 若闸门高H?3m? 宽L?2m? 求水面与闸门顶相齐时闸门所受的水压力P?
解 建立坐标系如图? 用分点xi?Hi(i?1? 2? ???? n?1)将区间[0?
nH]分为n分个小区间? 各小区间的长为?xi?H(i?1? 2? ???? n)?
n 在第i个小区间[xi?1? xi]上? 闸门相应部分所受的水压力近似为
?Pi?9?8xiL??xi ? 闸门所受的水压力为
Hi?H 9.8x?L??x?9.8Llim P?limiin???n???nni?1i?1nn ?9.8L?H2limn??n(n?1)?4.8L?H2? 2n 将L?2? H?3代入上式得P?88?2(千牛)? 5? 证明定积分性质? (1)?kf(x)dx?k?f(x)dx?
aabb 证明
?kf(?)?x?klim?f(?)?x?k??kf(x)dx?lim??a?0i?1ii?0i?1iibnnbaf(x)dx?
(2)?1?dx??dx?b?a?
aabb 证明
(b?a)?b?a? ?1??x?lim??x?lim?1?dx?lim???a?0ii?1?0ii?1?0bnn 6? 估计下列各积分的值? (1)?(x2?1)dx?
14 解 因为当1?x?4时? 2?x2?1?17? 所以 2?(4?1)??(x2?1)dx?17?(4?1)?
14即 6??(x2?1)dx?51?
14 (2)??(1?sin2x)dx?
45?4 解 因为当??x?5?时? 1?1?sin2x?2? 所以
44 1?(5???)???(1?sin2x)dx?2?(5???)? 44444即 ????(1?sin2x)dx?2??
45?45?4 (3)?1xarctanxdx?
33 解 先求函数f(x)?x arctan x在区间[1, 3]上的最大值M与
3最小值m?
f?(x)?arctanx?x2? 因为当1?x?3时? f ?(x)?0? 所以函
1?x3数f(x)?xarctan x在区间[1, 3]上单调增加? 于是
3 m?f(1)?1arctan1???
33363 M?f(3)?3arctan3???
33?1因此 (3?)??1xarctanxdx??(3?1)?
6333333?即 ??1xarctanxdx?2??
933 (4)?ex202?xdx?
2?x 解 先求函数f(x)?exm? f?(x)?ex2?x在区间[0? 2]上的最大值M与最小值
(2x?1)? 驻点为x?1?
2?1?112
比较f(0)?1? f(2)?e? f()?e4? 得m?e4? M?e2? 于是
2 e(2?0)??ex0?1422?xdx?e2?(2?0)?
?14即 ?2e??e220x2?xdxdx??2e?
7? 设f(x)及g(x)在[a? b]上连续? 证明?
(1)若在[a? b]上? f(x)?0? 且?f(x)dx?0? 则在[a? b]上f(x)?0?
ab 证明 假如f(x)?/0? 则必有f(x)?0? 根据f(x)在[a? b]上的连续性? 在[a? b]上存在一点x0? 使f(x0)?0? 且f(x0)为f(x)在[a? b]上的最大值?
再由连续性? 存在[c? d]?[a? b]? 且x0?[c? d]? 使当x?[c? d]时?
f(x0)? 于是 f(x)?2
?baf(x)dx??f(x)dx??f(x)dx??f(x)dx
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同济大学高等数学第六版第五章课后习题答案(包括5.1,5.2,5.3,5.4,总习题五)
