2024年广西民族大学高等代数考研真题A卷
考生须知
1．答案须写在答题纸密封线内，写在试题卷、草稿纸等均视为无效。
2．答题时一律使用蓝或黑色钢笔、签字笔书写。
3．交卷时，请本人将答题纸放入试题袋内，密封后在封条与试卷袋骑缝处亲笔签名。
一、〔15 分〕
43232
多项式 f ( x ) ? x ? x ? 2 x ? x ? 1, g ( x ) ? x ? 2 x ? 2 x ?1，求它们的最大公因式
( f ( x ), g ( x)) ，并求它们的公共根。 二〔15 分〕 、
设 a1a2 an ? 0 ，计算以下行列式的值，并给出 D ? 0 的条件
1+a1 2 3 n
3 n .D ? 1 2 ? a2 1 2 3 ? a3 n 1 2
3 n ? an 三、〔15 分〕
? x1 ? x2 ? x3 ? 1
线性方程组 ??2 x1 ? 3 x2 ? kx3 ? 3 ，试讨论 k 取何值时，方程组无解、有唯一解 ?? x1 ? kx2 ? 3 x3 ? 2
和有无穷多组解。当有解时，写出其解表示式。 四、〔15 分〕
3 维线性空间V 有两组基：
(I) {?1,?2 ,?3}; (II) {??3, ?2?2 , ?3?1}
〔1〕求基 (I) 到基 (II) 的过渡矩阵；
T〔2〕假设向量? 在基 (I) 下的坐标为 (1, 2, 3) ，求? 在基 (II) 下的坐标。 五、〔15 分〕
设 A 是一个 3 阶方阵，且满足以下等式
? 0 ?1 1 ???? 0 0 3? ? ? ? ? A? ?1 2 1 ? ??? 0 0 3 ? ? ? ? ?
1 ???? 0 0 3 ? 1 ?1 ?
求矩阵 A ，并求 A 的全部特征值。
六、〔15 分〕
设 ?1 , ?2 , ?3 是 n 阶矩阵 A 的 3 个互不一样的特征值，?1 , ? 2 , ?3 分别是 A 属于 ?1 , ?2 , ?3
的特征向量，证明：?1 ? ? 2 ??3 不是 A 的特征向量． 七、〔20 分〕
T
T使得 f ( x ) ? x Ax ? 0. 八、〔20 分〕
? 1 , ? 2 ,?3 是欧氏空间V 的一组标准正交基，设
?1 ? ?1 ? ? 2 ? ? 3 , ? 2 ? ?1 ? ? 2 ? ? 3 , W ? span{?1 , ?2},
(1)
, x ) ? A ? 0 设 A 是一个 n 阶实对称矩阵，且 ，证明：必存在 n 维向量 x ? ( x , x , 0 12 n
证明
???1 ??2 , ?1 ??2 ??和 ???1 ??3 ??分别是W 和W ? 的标准正交基；
222????2?
(2) 求? ??2 ?2?3在W 中的内射影? ，即求? ?W ，使? ? ? ??, ? ?W?. 九、〔20 分〕
2
设 A 是 n 维欧氏空间V 的线性变换， A ? I (单位变换)，令
V1 ? ?x x ? V , Ax ? x?, V2 ? ?x x ?V , Ax ???x?,
证明：V ?V1 ?V2
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