上海历年中考数学压轴题复习
2001年上海市数学中考
27.已知在梯形ABCD中,AD∥BC,AD<BC,且AD=5,AB=DC=2. (1)如图8,P为AD上的一点,满足∠BPC=∠A.
图8
①求证;△ABP∽△DPC ②求AP的长.
(2)如果点P在AD边上移动(点P与点A、D不重合),且满足∠BPE=∠A,PE交直线BC于点E,同时交直线DC于点Q,那么
①当点Q在线段DC的延长线上时,设AP=x,CQ=y,求y关于x的函数解析式,并写出函数的定义域;
②当CE=1时,写出AP的长(不必写出解题过程).
27.(1)①证明:
∵ ∠ABP=180°-∠A-∠APB,∠DPC=180°-∠BPC-∠APB,∠BPC=∠A,∴ ∠ABP=∠DPC.∵ 在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD,∴ ∠A=∠D.∴ △
ABP∽△DPC.
②解:设AP=x,则DP=5-x,由△ABP∽△DPC,得解得x1=1,x2=4,则AP的长为1或4.
(2)①解:类似(1)①,易得△ABP∽△DPQ,∴ 得y??x2?ABPD25?x,即?,?x2APDCABAP2x.即,??PDDQ5?x2?y125x?2,1<x<4. 2②AP=2或AP=3-5.
(题27是一道涉及动量与变量的考题,其中(1)可看作(2)的特例,故(2)的推断与证明均可借鉴(1)的思路.这是一种从模仿到创造的过程,模仿即借鉴、套用,创造即灵活变化,这是中学生学数学应具备的一种基本素质,世上的万事万物总有着千丝万缕的联系,也有着质的区别,模仿的关键是发现联系,创造的关键是发现区别,并找到应付新问题的途径.)
上海市2002年中等学校高中阶段招生文化考试
27.操作:将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD上,并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动,直角的一边始终经过点B,另一边与射线DC相交于点Q.
图5
探究:设A、P两点间的距离为x.
(1)当点Q在边CD上时,线段PQ与线段PB之间有怎样的大小关系?试证明你观察得到结论;
(2)当点Q在边CD上时,设四边形PBCQ的面积为y,求y与x之间的函数解析式,并写出函数的定义域;
(3)当点P在线段AC上滑动时,△PCQ是否可能成为等腰三角形?如果可能,指出所有能使△PCQ成为等腰三角形的点Q的位置,并求出相应的x的值;如果不可能,试说明理由.
(图5、图6、图7的形状大小相同,图5供操作、实验用,图6和图7备用) 五、(本大题只有1题,满分12分,(1)、(2)、(3)题均为4分)
图6
图7
27.
图1 图2 图3
(1)解:PQ=PB ……………………(1分) 证明如下:过点P作MN∥BC,分别交AB于点M,交CD于点N,那么四边形AMND和四边形BCNM都是矩形,△AMP和△CNP都是等腰直角三角形(如图1).
∴ NP=NC=MB. ……………………(1分) ∵ ∠BPQ=90°,∴ ∠QPN+∠BPM=90°.
而∠BPM+∠PBM=90°,∴ ∠QPN=∠PBM. ……………………(1分) 又∵ ∠QNP=∠PMB=90°,∴ △QNP≌△PMB. ……………………(1分) ∴ PQ=PB. (2)解法一
由(1)△QNP≌△PMB.得NQ=MP. ∵ AP=x,∴ AM=MP=NQ=DN=
22x,BM=PN=CN=1-x, 22 ∴ CQ=CD-DQ=1-2·
2x=1-2x. 2 得S△PBC=
22111x)=-BC·BM=×1×(1-x. ………………(1分) 24222 S△PCQ=
21113212
x+x (1分) x)=-CQ·PN=×(1-2x)(1-
422222 S四边形PBCQ=S△PBC+S△PCQ= 即 y= 解法二
12
x-2x+1. 2212
x-2x+1(0≤x<). ……………………(1分,1分)
22 作PT⊥BC,T为垂足(如图2),那么四边形PTCN为正方形.
∴ PT=CB=PN.
又∠PNQ=∠PTB=90°,PB=PQ,∴△PBT≌△PQN.
S四边形PBCQ=S△四边形PBT+S四边形PTCQ=S四边形PTCQ+S△PQN=S正方形PTCN =CN=(1-
2
…(2分)
2122
x)=x-2x+1 22 ∴ y=
212
x-2x+1(0≤x<). ……………………(1分)
22(3)△PCQ可能成为等腰三角形
①当点P与点A重合,点Q与点D重合,这时PQ=QC,△PCQ是等腰三角形, 此时x=0 ……………………(1分) ②当点Q在边DC的延长线上,且CP=CQ时,△PCQ是等腰三角形(如图3) ……………………(1分) 解法一 此时,QN=PM=
222x,CP=2-x,CN=x. CP=1-
222 ∴ CQ=QN-CN=
22x-(1-x)=2x-1. 22 当2-x=2x-1时,得x=1. ……………………(1分) 解法二 此时∠CPQ=
1∠PCN=22.5°,∠APB=90°-22.5°=67.5°, 2 ∠ABP=180°-(45°+67.5°)=67.5°,得∠APB=∠ABP,
∴ AP=AB=1,∴ x=1. ……………………(1分)
上海市2003年初中毕业高中招生统一考试
27.如图,在正方形ABCD中,AB=1,弧AC是点B为圆心,AB长为半径的圆的一段弧。点E是边AD上的任意一点(点E与点A、D不重合),过E作弧AC所在圆的切线,交边DC于点F,G为切点:
(1)当∠DEF=45o时,求证:点G为线段EF的中点;
(2)设AE=x,FC=y,求y关于x的函数解析式,并写出函数的定义域; (3)将△DEF沿直线EF翻折后得△D1EF,如图,当EF=
5时,讨论△AD1D与△ED1F6是否相似,如果相似,请加以证明;如果不相似,只要求写出结论,不要求写出理由。