《二次根式》知识梳理
本章的知识结构框图：
二次根式的性 质 二次根式 二次根式的运 算
一、二次根式的概念
有理化因式和分母有理化 最简二次根式 同类二次根式 二次根式的加减 混合运算 二次根式的乘除 1．代数式a(a?0)叫二次根式，ma也是。 2．二次根式有意义的条件：a?0 3．训练题型
设x是实数，当x满足什么条件时，下列各式有意义？ （1）
12x?1 ?2x （2）? （3）x2?2x?1 （4）
x3x?4二、二次根式的性质
1．性质
性质1
?a(a＞0),?a2??0(a?0),
??a(a＜0).?2 性质2 ?a??a?a?0?
性质3 ab?a?b?a?0,b?0?
性质4
aa?a?0,b?0? ?bb2．训练题型
利用二次根式的性质进行计算或化简，例：
1ab22 （1）72， （2）18x?x?0? （3） （4）?b?0?
439a（5）
?3???2 （6）
x2?2x?1,x??3
??
3、常见问题和解决技巧
（1）重要公式不理解
?a?a?0? a2?a????a(a?0)
被开方数是字母或代数式时，总忘记添绝对值。 口诀化方法解决：去帽子，套棍子。 （2）化简二次根式不熟练
在教学中始终渗透分解因数4、9、25及其它们的组合。 强化训练48、50、72、75、108、125等数的开方。 化简顺序：从数字到字母。
（3）化去根号内的分母时结果错位
解决方法：由外到里、由里到外、公式兼用
22x x2?x22xx?xxxx
222x222x?x??x?x? xxxx
22 再分母有理化 x?x??xx
三、最简二次根式、同类二次根式 1．最简二次根式的定义
（1）被开方数中各因式的指数都为1；
（2）被开方数不含分母（根号内不含分母） （3）分母里不含根号。
“因式”包括字母和数字 2．同类二次根式的定义
几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式。 3．训练题型
例题1 判断下列二次根式是不是最简二次根式：
(1)5a;3(2)42a(4)a2?b;
(3)24x32（5）3(a?2a?1)(a??1)
例题2 将下列二次根式化成最简二次根式：
(1)4x3y2(y?0); m?n(2)(m?n?0);m?n(3)(a2?b2)(a?b)(a?b?0)
例题3 下列二次根式中，哪些是同类二次根式？
12,24,1,27
a4b,2a3b(a?0),?ab3(a?0)例题4 合并下列各式中的同类二次根式：
11(1)22?3?2?3;
23(2)3xy?axy?bxy
4．常见问题和解决技巧
解系数是无理数的方程或不等式时不会合并同类项 强化训练找系数，如
(3?2)x?22?0
3x?23?5x
解系数是无理数不等式，系数化成1时，忘记判断系数是正数还是负数，不等号该不该变号。
3x?23?5x
四、二次根式的计算
1．二次根式的加法和减法
二次根式相加减的一般过程是：先把各个人次根式化成最简二次根式，再把同类二次根式分别合并。
注意：不是同类二次根式的根式不能合并，保留在结果中。 训练题型
二次根式知识梳理
