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高考数学二轮复习：三角函数的专题
本人在十多年的职中数学教学实践中，面对三角函数内容的相关教学时，积累了一些解题方面的处理技巧以及心得、体会。下面尝试进行探讨一下：
一、关于sin??cos?与sin?cos?(或sin2?)的关系的推广应用：
1、由于(sin??cos?)2?sin2??cos2??2sin?cos??1?2sin?cos?故知道(sin??cos?)，必可推出sin?cos?(或sin2?)，例如：
例1 已知sin??cos??3,求sin3??cos3?。 3分析：由于sin3??cos3??(sin??cos?)(sin2??sin?cos??cos2?)
?(sin??cos?)[(sin??cos?)2?3sin?cos?]
其中，sin??cos?已知，只要求出sin?cos?即可，此题是典型的知sin?-cos?，求sin?cos?的题型。
解：∵(sin??cos?)2?1?2sin?cos? 故：1?2sin?cos??(3211)??sin?cos?? 333 sin3??cos3??(sin??cos?)[(sin??cos?)2?3sin?cos?] ?331314[()2?3?]???3 333339例2 若sin?+cos?=m2，且tg?+ctg?=n，则m2 n的关系为（ ）。
A．m2=n B．m2=
222?1 C．m2? D．n?2 nnm分析：观察sin?+cos?与sin?cos?的关系：
(sin??cos?)2?1m2?1? sin?cos?=
22而：tg??ctg??1?n
sin?cos?m2?112??m2??1，选B。 故：2nn
例3 已知：tg?+ctg?=4，则sin2?的值为（ ）。
1111 A． B．? C． D．?
242411分析：tg?+ctg?=?4?sin?cos??
sin?cos?4学习好资料 欢迎下载
1 故：sin2??2sin?cos??sin2??。 答案选A。
2例4 已知：tg?+ctg?=2，求sin4??cos4?
分析：由上面例子已知，只要sin4??cos4?能化出含sin?±cos?或sin?cos?的式子，则即可根据已知tg?+ctg?进行计算。由于tg?+ctg?=
sin?cos??1?2?
sin?cos?1，此题只要将sin4??cos4?化成含sin?cos?的式子即可： 2解：sin4??cos4?=sin4??cos4?+2 sin2?cos2?-2 sin2?cos2?
=（sin2?+cos2?）- 2 sin2?cos2? =1-2 (sin?cos?)2
1 =1-2?()2
21 =1?
21 =
2 通过以上例子，可以得出以下结论：由于sin??cos?，sin?cos?及tg?+ctg?三者之间可以互化，知其一则必可知其余二。这种性质适合于隐含此三项式子的三角式的计算。但有一点要注意的；如果通过已知sin?cos?，求含sin??cos?的式子，必须讨论其象限才能得出其结果的正、负号。这是由于（sin??cos?）2=1±2sin?cos?，要进行开方运算才能求出sin??cos? 二、关于“托底”方法的应用：
在三角函数的化简计算或证明题中，往往需要把式子添加分母，这常用在需把含tg?（或ctg?）与含sin?（或cos?）的式子的互化中，本文把这种添配分母的方法叫做“托底”法。方法如下：
sin??3cos?例5 已知：tg?=3，求的值。
2sin??cos?sin?分析：由于tg??，带有分母cos?，因此，可把原式分子、分母各项除以cos?，“造出”tg?，
cos?即托出底：cos?；
解：由于tg?=3???k???2?cos??0
sin?cos??3?cos??tg??3?3?3?0 故，原式=cos?sin?cos?2tg??12?3?12??cos?cos?
例6 已知：ctg?= -3，求sin?cos?-cos2?=?
cos?cos?分析：由于ctg??，故必将式子化成含有的形式，而此题与例4有所不同，式子本身没
sin?sin?有分母，为了使原式先出现分母，利用公式：sin2??cos2??1及托底法托出其分母，然后再分子、分母分别除以sin?，造出ctg?：
sin?cos??cos2?解：sin??cos??1?sin?cos??cos?? 22sin??cos?222学习好资料 欢迎下载 cos?cos?2?()ctg??ctg2?2sin?sin?? 分子,分母同除以sin? 2cos?21?ctg?1?()sin??3?(?3)26 ? ??251?(?3)例7 （95年全国成人高考理、工科数学试卷） 设0?x??2,0?y??，且sinxsiny?sin(?x)sin(?y)
236??求：(ctgx?3)(ctgy?3)的值 3分析：此题是典型已知含正弦函数的等式求含正切、余切的式子，故要用“托底法”，由于
0?x??2,0?y??2，故sinx?0,siny?0，在等式两边同除以sinxsiny，托出分母sinxsiny为底，得：
解：由已知等式两边同除以sinxsiny得：
sin(?3
6sinxsiny?x)sin(??y)?1?sin?cos?cossinxsincosy?cossiny3366??1
sinxsiny???13cosx?sinxcosy?3siny???14sinxsiny1?(3ctgx?1)(ctgy?3)?14
33?(ctgx?)(ctgy?3)?14334?(ctgx?)(ctgy?3)?333“托底”适用于通过同角的含正弦及余弦的式子与含正切、余切的式子的互化的计算。由于sin?cos?，ctg??，即正切、余切与正弦、余弦间是比值关系，故它们间的互化需“托底”，通tg??cos?sin?过保持式子数值不变的情况下添加分母的方法，使它们之间可以互相转化，达到根据已知求值的目的。
?而添加分母的方法主要有两种：一种利用sin2??cos2??1，把sin2??cos2?作为分母，并不改变原式的值，另一种是通过等式两边同时除以正弦或余弦又或者它们的积，产生分母。
三、关于形如：acosx?bsinx的式子，在解决三角函数的极值问题时的应用：
可以从公式sinAcosx?cosAsinx?sin(A?x)中得到启示：式子acosx?bsinx与上述公式有点相似，如果把a，b部分变成含sinA，cosA的式子，则形如acosx?bsinx的式子都可以变成含sin(A?x)的式子，由于-1≤sin(A?x)≤1，
所以，可考虑用其进行求极值问题的处理，但要注意一点：不能直接把a当成sinA，b当成cosA，如式子：3cosx?4sinx中，不能设sinA=3，cosA=4，考虑：-1≤sinA≤1，-1≤cosA≤1，可以如下处理式子：
高考数学二轮复习三角函数专题
