1.高考数学考点与题型全归纳——集合

贾老师数学

第一章 集合与简易逻辑

第一节 集 合

? 基础知识

1. 集合的有关概念

1.1.集合元素的三个特性：确定性、无序性、互异性． 1.2.集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法．

1.3.元素与集合的两种关系：属于，记为∈；不属于，记为?. 1.4.五个特定的集合及其关系图：

N*或N＋表示正整数集，N表示自然数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集．

2. 集合间的基本关系

2.1.子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，则称A是B的子集，记作A?B(或B?A)．

2.2.真子集：如果集合A是集合B的子集，但集合B中至少有一个元素不属于A，则称A是B的真子集，记作AB或BA. A

??A?B，B??既要说明A中任何一个元素都属于B，也要说明B中存在一个元素不属于A.

?A≠B.?

2.3.集合相等：如果A?B，并且B?A，则A＝B.

?A?B，?

两集合相等：A＝B??A中任意一个元素都符合B中元素的特性，B中任意一个元素也符合A

?A?B.?

中元素的特性．

2.4.空集：不含任何元素的集合．空集是任何集合A的子集，是任何非空集合B的真子集．记作?. ?∈{?}，??{?}，0??，0?{?},0∈{0}，??{0}．

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3. 集合间的基本运算 (1)交集：一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B，即A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．

(2)并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为A与B的并集，记作A∪B，即A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}．

(3)补集：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作?U A，即?UA＝{x|x∈U，且x?A}．

求集合A的补集的前提是“A是全集U的子集”，集合A其实是给定的条件.从全集U中取出集合A的全部元素，剩下的元素构成的集合即为?UA.

? 常用结论

(1)子集的性质：A?A，??A，A∩B?A，A∩B?B. (2)交集的性质：A∩A＝A，A∩?＝?，A∩B＝B∩A.

(3)并集的性质：A∪B＝B∪A，A∪B?A，A∪B?B，A∪A＝A，A∪?＝?∪A＝A. (4)补集的性质：A∪?UA＝U，A∩?UA＝?，?U(?UA)＝A，?AA＝?，?A?＝A.

(5)含有n个元素的集合共有2n个子集，其中有2n－1个真子集，2n－1个非空子集． (6)等价关系：A∩B＝A?A?B；A∪B＝A?A?B.

考点一 集合的基本概念

[典例]

1. (2017·全国卷Ⅲ)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|y＝x}，则A∩B中元素的个数为( ) A．3 B．2

C．1

?

?

D．0

b??

2. 已知a，b∈R，若?a，a，1?＝{a2，a＋b,0}，则a2 019＋b2 019的值为( )

A．1 C．－1 [解析]

(1)因为A表示圆x2＋y2＝1上的点的集合，B表示直线y＝x上的点的集合，直线y＝x与圆x2＋y2＝1有两个交点，所以A∩B中元素的个数为2.

b

(2)由已知得a≠0，则＝0，所以b＝0，于是a2＝1，即a＝1或a＝－1.又根据集合中元素的互异性可

a知a＝1应舍去，因此a＝－1，故a2 019＋b2 019＝(－1)2 019＋02 019＝－1. [答案] (1)B (2)C

[提醒] 集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意． [题组训练]

B．0 D．±1

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1．设集合A＝{0,1,2,3}，B＝{x|－x∈A,1－x?A}，则集合B中元素的个数为( )

A．1 C．3

B．2 D．4

解析：选A 若x∈B，则－x∈A，故x只可能是0，－1，－2，－3，当0∈B时，1－0＝1∈A；当－1∈B时，1－(－1)＝2∈A；当－2∈B时，1－(－2)＝3∈A；当－3∈B时，1－(－3)＝4?A，所以B＝{－3}，故集合B中元素的个数为1.

2．若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a等于( )

9A. 2C．0

9 B.

89

D．0或

8

解析：选D 若集合A中只有一个元素，则方程ax2－3x＋2＝0只有一个实根或有两个相等实根．

2

当a＝0时，x＝，符合题意．

3

9

当a≠0时，由Δ＝(－3)2－8a＝0，得a＝，

89

所以a的值为0或.

8

3.（2024·厦门模拟）已知P={x|2

考点二 集合间的基本关系

[典例]

1.已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0

A．B?A B．A＝B

C．AB

D．BA

2.(2024·湖北八校联考)已知集合A＝{x∈N*|x2－3x<0}，则满足条件B?A的集合B的个数为( )

A．2 C．4

B．3 D．8

3.已知集合A＝{x|－1

(1)由x2－3x＋2＝0得x＝1或x＝2，∴A＝{1,2}．由题意知B＝{1,2,3,4}，比较A，B中的元素可知AB，故选C.

(2)∵A＝{x∈N*|x2－3x<0}＝{x∈N*|0

(3)当m≤0时，B＝?，显然B?A.

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当m>0时，因为A＝{x|－1

－m≥－1，??

所以?m≤3，

??－m

所以0

综上所述，m的取值范围为(－∞，1]． [答案] (1)C (2)C (3)(－∞，1] [变透练清]

1.(变条件)若本例(2)中A不变，C＝{x|0

A．1 C．3

B．2 D．4

解析：选D 因为A＝{1,2}，由题意知C＝{1,2,3,4}，所以满足条件的B可为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}．

2.(变条件)若本例(3)中，把条件“B?A”变为“A?B”，其他条件不变，则m的取值范围为________．

??－m≤－1，解析：若A?B，由?得m≥3，

?m≥3?

∴m的取值范围为[3，＋∞)． 答案：[3，＋∞)

3．已知集合A＝{1,2}，B＝{x|x2＋mx＋1＝0，x∈R}，若B?A，则实数m的取值范围为________． 解析：①若B＝?，则Δ＝m2－4<0，解得－2

②若1∈B，则12＋m＋1＝0，

解得m＝－2，此时B＝{1}，符合题意； ③若2∈B，则22＋2m＋1＝0，

1?5?

解得m＝－，此时B＝?2，2?，不合题意．

2??

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综上所述，实数m的取值范围为[－2,2)． 答案：[－2,2)

考点三 集合的基本运算

3.1.集合的运算 [典例]

(1)(2024·天津高考)设集合A＝{1,2,3,4}，B＝{－1,0,2,3}，C＝{x∈R|－1≤x＜2}，则(A∪B)∩C＝( )

A．{－1,1} C．{－1,0,1}

B．{0,1} D．{2,3,4}

(2)已知全集U＝R，集合A＝{x|x2－3x－4>0}，B＝{x|－2≤x≤2}，则如图所示阴影部分所表示的集合为( )

A．{x|－2≤x<4} B．{x|x≤2或x≥4} C．{x|－2≤x≤－1} D．{x|－1≤x≤2} [解析]

(1)∵A＝{1,2,3,4}，B＝{－1,0,2,3}，∴A∪B＝{－1,0,1,2,3,4}．

又C＝{x∈R|－1≤x＜2}，∴(A∪B)∩C＝{－1,0,1}．

(2)依题意得A＝{x|x<－1或x>4}，因此?RA＝{x|－1≤x≤4}，题中的阴影部分所表示的集合为(?RA)∩B＝{x|－1≤x≤2}． [答案] (1)C (2)D

3.2.根据集合运算结果求参数 [典例]

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(1)已知集合A＝{x|x2－x－12>0}，B＝{x|x≥m}．若A∩B＝{x|x>4}，则实数m的取值范围是( )

A．(－4,3) C．(－3,4)

B．[－3,4] D．(－∞，4]

(2)(2024·河南名校联盟联考)已知A＝{1,2,3,4}，B＝{a＋1,2a}，若A∩B＝{4}，则a＝( )

A．3 C．2或3 [解析]

(1)集合A＝{x|x<－3或x>4}，∵A∩B＝{x|x>4}，∴－3≤m≤4，故选B.

(2)∵A∩B＝{4}，∴a＋1＝4或2a＝4.若a＋1＝4，则a＝3，此时B＝{4,6}，符合题意；若2a＝4，则a＝2，此时B＝{3,4}，不符合题意．综上，a＝3，故选A. [答案] (1)B (2)A

[题组训练]

1．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{x|(x＋1)(x－2)<0，x∈Z}，则A∪B＝( )

A．{1} C．{0,1,2,3}

B．{1,2} D．{－1,0,1,2,3} B．2 D．3或1

解析：选C 因为集合B＝{x|－1

1?A.??2，100? 1?C.??2，100?

1?

B.??2，2? D．?

11

－1，?，B＝(0,100)，则?RA＝(－∞，－1)∪?，＋∞?，所以(?RA)∩B＝解析：选A 由题意得A＝?2???2?

?1，100?.

?2?

??1

a≤x≤2a－1?，若A∩B≠?，则实数a3．(2024·合肥质量检测)已知集合A＝[1，＋∞)，B＝?x∈R??2

?

?

的取值范围是( )

A．[1，＋∞) 2

，＋∞? C.?3??

?

1?

B.??2，1? D．(1，＋∞)

1?

解析：选A 因为A∩B≠?，所以?2a－1≥1，2a－1≥2a，解得a≥1.

[课时跟踪检测]

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1．(2024·福州质量检测)已知集合A＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}，B＝{x|－1

A．1 C．3

B．2 D．4

解析：选B 依题意，集合A是由所有的奇数组成的集合，故A∩B＝{1,3}，所以集合A∩B中元素的个数为2.

2．设集合U＝{1,2,3,4,5,6}，A＝{1,3,5}，B＝{3,4,5}，则?U(A∪B)＝( )

A．{2,6} C．{1,3,4,5}

B．{3,6} D．{1,2,4,6}

解析：选A 因为A＝{1,3,5}，B＝{3,4,5}，所以A∪B＝{1,3,4,5}．又U＝{1,2,3,4,5,6}，所以?U(A∪B)＝{2,6}．

3．(2024·天津高考)设全集为R，集合A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|x≥1}，则A∩(?RB)＝( )

A．{x|0＜x≤1} C．{x|1≤x＜2}

B．{x|0＜x＜1} D．{x|0＜x＜2}

解析：选B ∵全集为R，B＝{x|x≥1}，

∴?RB＝{x|x＜1}． ∵集合A＝{x|0＜x＜2}， ∴A∩(?RB)＝{x|0＜x＜1}．

4．(2024·南宁毕业班摸底)设集合M＝{x|x<4}，集合N＝{x|x2－2x<0}，则下列关系中正确的是( )

A．M∩N＝M C．N∪(?RM)＝R

B．M∪(?RN)＝M D．M∪N＝M

解析：选D 由题意可得，N＝(0,2)，M＝(－∞，4)，所以M∪N＝M.

?1?

≤2x<2?，B＝{x|ln x≤0}，则A∩B为( ) 5．设集合A＝?x??2

?

?

1

0，? A.??2?1?C.??2，1?

B．[－1,0) D．[－1,1]

1?1?11－

－1≤x

?1?

0

?

? 6．(2024·郑州质量测试)设集合A＝{x|1

A．(－∞，2] C．[1，＋∞)

B．(－∞，1] D．[2，＋∞)

解析：选D 由A∩B＝A，可得A?B，又因为A＝{x|1

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7．已知全集U＝A∪B中有m个元素，(?UA)∪(?UB)中有n个元素．若A∩B非空，则A∩B的元素个数为( )

A．mn C．n－m

B．m＋n D．m－n

解析：选D 因为(?UA)∪(?UB)中有n个元素，如图中阴影部分所示，又U＝A∪B中有m个元素，故A∩B中有m－n个元素．

????mkA?

?xx＝－1，k∈A?，x＝，m∈A，n∈B?，8．定义集合的商集运算为＝?x?已知集合A＝{2,4,6}，B＝n2B??????

B

则集合∪B中的元素个数为( ) A

A．6 C．8

B．7 D．9

1?1111?B?111B?

解析：选B 由题意知，B＝{0,1,2}，＝?0，2，4，6，1，3?，则∪B＝?0，2，4，6，1，3，2?，共

A?A???有7个元素．

9．设集合A＝{x|x2－x－2≤0}，B＝{x|x<1，且x∈Z}，则A∩B＝________.

解析：依题意得A＝{x|(x＋1)(x－2)≤0}＝{x|－1≤x≤2}，因此A∩B＝{x|－1≤x<1，x∈Z}＝{－1,0}． 答案：{－1,0}

10．已知集合U＝R，集合A＝[－5,2]，B＝(1,4)，则下图中阴影部分所表示的集合为________．

解析：∵A＝[－5,2]，B＝(1,4)，∴?UB＝{x|x≤1或x≥4}，则题图中阴影部分所表示的集合为(?UB)∩A＝{x|－5≤x≤1}． 答案：{x|－5≤x≤1}

11．若集合A＝{(x，y)|y＝3x2－3x＋1}，B＝{(x，y)|y＝x}，则集合A∩B中的元素个数为________． 解析：法一：由集合的意义可知，A∩B表示曲线y＝3x2－3x＋1与直线y＝x的交点构成的集合．

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??y＝3x－3x＋1，

联立得方程组?

?y＝x，?

2

?x＝3，

解得?1

y＝?3

1

??x＝1，

或? ?y＝1，?

?11??

，，?1，1??，所以A∩B中含有2个元素． 故A∩B＝???33?

?

?

法二：由集合的意义可知，A∩B表示曲线y＝3x2－3x＋1与直线y＝x的交点构成的集合．因为3x2

－3x＋1＝x即3x2－4x＋1＝0的判别式Δ>0，所以该方程有两个不相等的实根，所以A∩B中含有2个元素． 答案：2

12．已知集合A＝{x|log2x≤2}，B＝{x|x＜a}，若A?B，则实数a的取值范围是__________． 解析：由log2x≤2，得0＜x≤4，

即A＝{x|0＜x≤4}，而B＝{x|x＜a}，

由于A?B，在数轴上标出集合A，B，如图所示，则a＞4. 答案：(4，＋∞)

13．设全集U＝R，A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|2

(1)分别求A∩B，A∪(?UB)；

(2)若B∪C＝B，求实数a的取值范围．

解：(1)由题意知，A∩B＝{x|1≤x≤3}∩{x|2

(2)由B∪C＝B，可知C?B，画出数轴(图略)，

易知2