3.3 排序不等式
自主广场
我夯基我达标
333222
1.已知a,b,c∈R+，则a+b+c与ab+bc+ca的大小关系是( ) 333222A.a+b+c>ab+bc+ca 333222B.a+b+c≥ab+bc+ca 333222C.a+b+c 222222 思路解析：根据排序原理，取两组数a,b,c;a,b,c,不妨设a≥b≥c,所以a≥b≥c.所以222222 a×a+b×b+c×c≥ab+bc+ca. 答案：B -1-1-1 2.设a1,a2,…,an都是正数，b1,b2,…,bn是a1,a2,…,an的任一排列，则a1b1+a2b2+…+anbn的最小值是( ) 2 A.1 B.nC.nD.无法确定 -1-1-1-1-1 思路解析：设a1≥a2≥…≥an>0.可知an≥an-1≥…≥a1，由排序原理，得a1b1+a2b2+…+anbn≥a -1 -11 +a2a2+…+anan≥n. -1-1 答案：B 222222 3.已知a,b,c∈R+,则a(a-bc)+b(b-ac)+c(c-ab)的正负情况是( ) A.大于零B.大于等于零 C.小于零D.小于等于零 333 思路解析：设a≥b≥c>0， 所以a≥b≥c,根据排序原理，得333333 a·a+b×b+c×c≥ab+bc+ca. 222333222444222 又知ab≥ac≥bc,a≥b≥c,所以ab+bc+ca≥abc+bca+cab.∴a+b+c≥abc+bca+cab. 222222 即a(a-bc)+b(b-ac)+c(c-ab)≥0. 答案：B 4.已知a,b,c都是正数，则 思路解析：设a≥b≥c≥0，所以 ,① ,② ①+②，得答案： . ≥__________. ,由排序原理,知 5.设a,b,c都是正数，求证：a+b+c≤证明：由题意不妨设a≥b≥c>0. 222 由不等式的性质，知a≥b≥c,ab≥ac≥bc. . 根据排序原理，得 222333 abc+abc+abc≤ac+ba+cb.① 333 又由不等式的性质，知a≥b≥c,且a≥b≥c. 再根据排序原理，得 333444 ac+ba+cb≤a+b+c.② 由①②及不等式的传递性，得 222444abc+abc+abc≤a+b+c. 两边同除以abc得证不等式成立. 6.设a,b,c∈R+,求证：证明：设a≥b≥c>0. 由不等式的单调性，知 5 ++≤. ≥ 5 ≥ 5 ,而. 由不等式的性质，知a≥b≥c. 根据排序原理，知 . 2 2 2 又由不等式的性质，知a≥b≥c,. 由排序原理，得由不等式的传递性，知 + + ≤ . . ∴原不等式成立. 我综合我发展 222 7.设a,b,c为某三角形三边长，求证：a(b+c-a)+b(c+a-b)+c(a+b-c)≤3abc. 证明：不妨设a≥b≥c.易证a(b+c-a)≤b(c+a-b)≤c(a+b-c). 根据排序原理，得 222 a(b+c-a)+b(c+a-b)+c(a+b-c) ≤a×b(c+a-b)+b×c(a+b-c)+c×a(b+c-a)≤3abc. 8.设x1≥x2≥…≥xn,y1≥y2≥…≥yn.求证：其中z1,z2,…,zn是y1,y2,…,yn的任意一个排列. 证明：要证 ≤ . 只需证.
高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式3.3排序不等式自主训练新人教A版选修4_5
