§3.3 定积分与微积分基本定理
最新考纲 1.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念． 2.了解微积分基本定理的含义. 考情考向分析 利用定积分求平面图形的面积，定积分的计算是高考考查的重点.
1．定积分的定义
给定一个在区间[a，b]上的函数y＝f(x)：
将[a，b]区间分成n份，分点为a＝x0 第i个小区间为[xi－1，xi]，设其长度为Δxi，在这个小区间上取一点ξi，使f(ξi)在[xi－ 1 ，xi]上的值最大．设S＝f(ξ1)Δx1＋f(ξ2)Δx2＋…＋f(ξi)Δxi＋…＋f(ξn)Δxn.在这个 小区间上取一点ζi，使f(ζi)在[xi－1，xi]上的值最小，设s＝f(ζ1)Δx1＋f(ζ2)Δx2＋…＋f(ζi)Δxi＋…＋f(ζn)Δxn. 如果每次分割后，最大的小区间的长度趋于0，S与s的差也趋于0，此时S与s同时趋于某一个固定的常数A，称A是函数y＝f(x)在区间[a，b]上的定积分． 记作?af(x)dx，即?af(x)dx＝A. 2．定积分的性质 ①?a1dx＝b－a. ②?akf(x)dx＝k?af(x)dx. ③?a[f(x)±g(x)]dx＝?af(x)dx±?ag(x)dx. ④?af(x)dx＝?af(x)dx＋?cf(x)dx. 3．微积分基本定理 如果连续函数f(x)是函数F(x)的导函数，即f(x)＝F′(x)，则有?af(x)dx＝F(b)－F(a)． 知识拓展 1．定积分应用的常用结论 当曲边梯形位于x轴上方时，定积分的值为正；当曲边梯形位于x轴下方时，定积分的值为负；当位于x轴上方的曲边梯形与位于x轴下方的曲边梯形面积相等时，定积分的值为零． bbcbbbbbbbbb2．若函数f(x)在闭区间[－a，a]上连续，则有 (1)若f(x)为偶函数，则?－af(x)dx＝2?0f(x)dx. (2)若f(x)为奇函数，则?－af(x)dx＝0. 题组一 思考辨析 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)设函数y＝f(x)在区间[a，b]上连续，则?af(x)dx＝?af(t)dt.( √ ) (2)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上连续且恒正，则?af(x)dx>0.( √ ) (3)若?af(x)dx<0，那么由y＝f(x)，x＝a，x＝b以及x轴所围成的图形一定在x轴下方．( × ) (4)曲线y＝x与y＝x所围成图形的面积是?0(x－x)dx.( × ) 题组二 教材改编 2．?2 e＋1 2 1 2 aaabbbb1 dx＝. x－1 答案 1 解析 ?2 0 e＋1 1e＋1 dx＝ln(x－1)|2＝ln e－ln 1＝1. x－1 2 3．?1－xdx＝. －1答案 π 4 0 2 2 解析 ?1－xdx表示由直线x＝0，x＝－1，y＝0以及曲线y＝1－x所围成的图形的面－1积， π02∴?1－xdx＝. －1 4 4．汽车以v＝(3t＋2)m/s作变速直线运动时，在第1 s至第2 s间的1 s内经过的位移是 m. 答案 13 2 2 解析 s＝?1(3t＋2)dt＝ ?3t2＋2t?|2 ?2?1?? 3713?3?＝×4＋4－?＋2?＝10－＝(m)． 222?2?题组三 易错自纠 5．直线y＝4x与曲线y＝x在第一象限内围成的封闭图形的面积为( ) A．22 B．42 C．2 D．4 答案 D 3 解析 如图，y＝4x与y＝x的交点为A(2,8)， 3 图中阴影部分即为所求图形面积． 23 S阴＝?0(4x－x)dx ＝ ?2x2－1x4?|2 ??0 4?? 14 ＝8－×2＝4，故选D. 4 6．若?0xdx＝9，则常数T的值为． 答案 3 13T13T2解析 ∵?0xdx＝x|0＝T＝9，∴T＝3. 33 ??x，－1≤x≤0， 7．已知f(x)＝? ?1，0 2 T2 则?－1f(x)dx的值为． 1 4 答案 3 解析 ?－1f(x)dx＝?－1xdx＋?01dx 1401 ＝|－1+x|0＝＋1＝. 333 1 0 2 1 x3 题型一 定积分的计算1．?dx的值为( ) －1eA．2 B．2e C．2e－2 D．2e＋2 答案 C 解析 ?dx＋?－1edx＝?－1e0edx ＝－e|－1＋e|0＝[－e－(－e)]＋(e－e) －x01 |x| 0 －x1x1 |x| x100 ＝－1＋e＋e－1＝2e－2，故选C. ??x，x∈[0，1]， 2．(2017·昆明检测)设f(x)＝? ??2－x，x∈?1，2]， 2 则?0f(x)dx等于( ) 345 A. B. C. D．不存在 456答案 C 解析 如图，?0f(x)dx＝?0xdx＋?1(2－x)dx 2 12 2 2 12?2131? ＝x|0+?2x－x?|1 2?3?1?51? ＝＋?4－2－2＋?＝. 2?63? 3．(2018·唐山调研)定积分?－1(x＋sin x)dx＝. 2 答案 3 解析 ?－1(x＋sin x)dx ＝?－1xdx＋?－1sin xdx 21 ＝2 ?xdx=2·|0＝. 33 12 01 2 1 1 2 1 2 x3 思维升华 运用微积分基本定理求定积分时要注意以下几点 (1)对被积函数要先化简，再求积分． (2)若被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，先分段积分再求和． (3)对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值符号再求积分． 题型二 定积分的几何意义 命题点1 利用定积分的几何意义计算定积分 典例 (1)计算：?3＋2x－x dx＝. 1πm2(2)若?－x－2x dx＝，则m＝. －24答案 (1)π (2)－1 3 2 解析 (1)由定积分的几何意义知，?3＋2x－x dx表示圆(x－1)＋y＝4和x＝1，x＝3，1 32y＝0围成的图形的面积，∴?3＋2x－xdx＝×π×4＝π. 1 3222 1 4 (2)根据定积分的几何意义?－x－2x dx表示圆(x＋1)＋y＝1和直线x＝－2，x＝m和－2 m2y＝0围成的图形的面积，又?－x－2x dx＝为四分之一圆的面积，结合图形知m＝－－2m222 π 4 1. 命题点2 求平面图形的面积 典例 (2017·青岛月考)由曲线xy＝1，直线y＝x，y＝3所围成的封闭平面图形的面积为． 答案 4－ln 3 ?1?解析 由xy＝1，y＝3，可得A?，3?. ?3? 由xy＝1，y＝x，可得B(1,1)，由y＝x，y＝3，得C(3,3)， 由曲线xy＝1，直线y＝x，y＝3所围成图形的面积为 ?113?3－1?dx＋?3 x)|1?x?1(3－x)dx＝(3x－ln 1?? 3＋ ?3x－1x2?|3＝(3－1－ln 3)＋?9－9－3＋1?＝4－ln 3. ?1?22?2????? 思维升华 (1)根据定积分的几何意义可计算定积分． (2)利用定积分求平面图形面积的四个步骤 ①画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图像； ②借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限； ③把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和； ④计算定积分，写出答案． 跟踪训练 (1)定积分?9－xdx的值为． 0答案 9π 4 3 2 2 3 2 解析 由定积分的几何意义知，?9－xdx是由曲线y＝9－x，直线x＝0，x＝3，y＝00π·39π围成的封闭图形的面积．故?9－xdx＝＝. 44 3 0 2 2 (2)如图所示，由抛物线y＝－x＋4x－3及其在点A(0，－3)和点B(3,0)处的切线所围成图 2
2019届高考数学大一轮复习第三章导数及其应用3.3定积分与微积分基本定理学案理北师大版
