《球的体积和表面积》习题
一、基础达标
1．正方体的内切球和外接球的半径之比为( ).
A. 3:1 B. 3:2 C. 2:3 D. 3:3
2．设正方体的全面积为24cm2，一个球内切于该正方体，那么这个球的体积是( ). A. 6?cm3 B.
3284?cm3 C. ?cm3 D. ?cm3 3333．已知，棱长都相等的正三棱锥内接于一个球，某学生画出四个过球心的平面截球与正三棱锥所得的图形，如下图所示，则( ). A. 以上四个图形都是正确的 B. 只有(2)(4)是正确的 C. 只有(4)是错误的 D. 只有(1)(2)是正确的 4．长方体的一个顶点上三条棱长分别是3、4、5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是( ).
(3)(4)(1)(2)A. 25? B. 50? C. 125? D. 都不对
5．一个圆锥与一个球的体积相等，圆锥的底面半径是球的半径的3倍，圆锥的高与底面半径之比为( ). A.
49427 B. C. D. 942746．若三个球的表面积之比是1:2:3，则它们的体积之比是___________.
7． 一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为2cm，则这个球的表面积为___________，体积为_____________.
二、能力提高
8．已知过球面上A,B,C三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且AB?BC?CA?2，求球的表面积.
CAOO'B
9．半球内有一个内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，若正方体棱长为6，求球的表面积和体积.
三、探究创新
10．祖暅原理也就是“等积原理”，它是由我国南北朝杰出的数学家、祖冲之的儿子祖暅首先提出来的. 祖暅原理的内容是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的平面所截，如果截得两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.可以用诗句“两个胖子一般高，平行地面刀刀切，刀刀切出等面积，两人必然同样胖”形象表示其内涵.利用祖暅原理可以推导几
何体的体积公式，关键是要构造一个参照体.试用祖暅原理推导球的体积公式.
参考答案
1～5 DDCBC； 6. 1:22:33； 7. 12?cm2,43?cm3. 8.解：设截面圆心为O?，连结O?A，设球半径为R，则2323， O?A???2?323CAOO'B在Rt?O?OA中，OA2?O?A2?O?O2，∴R2?(∴S?4?R2?64?. 9423212)?R，∴R?，
334A'D'C'DAOB'BC9.解：作轴截面如图所示，CC??6，AC?2?6?23，设球半径R，
A'RAOC'为
C则R2?OC2?CC?2?(6)2?(3)2?9，∴R?3， 42∴S球?4?R?36?，V球??R3?36?.
310.解：我们先推导半球的体积. 为了计算半径为R的半球的体积，我们先观察V圆锥、V半球、V圆柱这三个量(等底等高)之间的不等关系，可以发现V圆锥<1V半球 32系，我们可以猜测V半球??R3，并且由猜测可发现V半球?V圆柱?V圆锥. 3下面进一步验证了猜想的可靠性. 关键是要构造一个参照体，这样的参照体我们可以用圆柱内挖去一个圆锥构造出，如右图所示. 下面利用祖暅原理证明猜想. 证明：用平行于平面α的任意一个平面去截这两个几何体，截 面分别为圆面和圆环面. 如果截平面与平面α的距离为l，那么圆面半径r?R2?l2，圆环面的大圆半径为R，小圆半径为r. 2222222因此S圆??r??(R?l)，S环??R??l??(R?l)， ∴ S圆?S环. 12232根据祖暅原理，这两个几何体的体积相等，即V半球??RgR??RgR??R， 3343所以V球??R. 3
《球的体积和表面积》习题
