【金版学案】2015届高考数学总复习 基础知识名师讲义
第二章 第一节函数及其表示
近三年广东高考中对本章考点考查的情况
本章内容主要包括：函数的概念与表示，函数的基本性质，基本初等函数，函数的应用，导数的概念、运算及其应用．
1．函数的概念、表示和函数的基本性质(单调性与最值、奇偶性、周期性)： (1)判断两函数是否为同一函数，确定定义域与对应关系即可．
(2)用换元法求函数的解析式时，注意换元前后的等价性．
(3)单调性与最值是函数的局部性质，凸显用导数研究单调性及利用单调性求最值或求参数的取值范围．
(4)奇偶性是函数的整体性质，奇偶性、周期性的综合运用灵活多变． 2．基本初等函数：以具体的二次函数、指数函数、对数函数、幂函数等函数的概念、性质和图象为主要考查对象，适当考查分段函数、抽象函数．
3．函数的应用主要包含：函数与方程、函数模型及应用两部分内容． (1)对函数是否存在零点(方程是否存在实根)进行判断或利用零点(方程实根)的存在情况求相关参数的取值范围，是高考中常见的题目类型．
(2)函数的实际应用问题，多以社会实际生活为背景，设问新颖、灵活，综合性较强．
4．导数的概念、运算及应用．
(1)导数的概念是推导基本初等函数导数公式和四则运算法则的基础． (2)利用导数求曲线的切线方程时，一定要分清已知点是否在曲线上．另外，曲线的切线和平面几何中圆的切线概念易混淆，曲线在点P(x0，f(x0))处的切线是曲线另一点Q无限接近点P时的极限位置，它与曲线可能还有其他公共点．
(3)利用公式求导时，一定要注意公式的适用范围及符号，还要注意公式不要用混．
(4)导数的应用包括函数的单调性、极值、最值等方面，单调性是关键，一个函数的递增区间或递减区间有多个时，不能盲目地将它们取并集，特别是函数的定义域不能忽略．
在选择题和填空题中，主要以导数的运算、导数的几何意义、导数的应用为主(研究函数的单调性、极值和最值等)；在解答题中，有时作为压轴题，主要考查导数的综合应用，往往与函数、方程、不等式、数列、解析几何等联系在一起，考查学生的分类讨论、转化与化归等思想．
预测高考对本部分内容的考查，仍会以小题和大题的形式出现，小题主要考查基本初等函数的图象、性质，几种常见函数模型在实际问题中的应用以及函数零点，函数与方程的关系等，大题主要以函数为背景，以导数为工具，考查应用导数研究函数的单调性、极值或最值问题，在函数、不等式、解析几何等知识网络交汇点命题．
复习本章要重点解决好五个问题： 1．准确、深刻地理解函数的有关概念．
概念是数学的基础，而函数是数学中最主要的概念之一，函数概念贯穿在中学数学的始终．数、式、方程、不等式、导数、数列等都是以函数为中心的代数知识．近十年来，高考试题中始终贯穿着函数及其性质这条主线．
2．揭示并认识函数与其他数学知识的内在联系．
函数是研究变量及相互联系的数学概念，是变量数学的基础，利用函数观点可以从较高的角度处理式、方程、不等式、数列、曲线与方程等内容．
3．把握数形结合的特征和方法．
函数图象的几何特征与函数性质的数量特征紧密结合，图象有效地揭示了各类函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等基本属性．因此，既要从定形、定性、定理、定位各方面精确地观察图形、绘制图形，又要熟练地掌握函数图象的平移变换、对称变换、伸缩变换．
4．认识函数思想的实质，强化应用意识．
函数思想的实质就是用联系与变化的观点提出数学对象，抽象数量特征，建立函数关系，使问题得以解决．纵观近几年高考题，考查函数思想方法，尤其是应用题力度加大，因此一定要认识函数思想的实质，强化应用意识．
5．运用好导数这一锐利武器．
应始终把握对导数概念的认识、计算及应用这条主线．复习应侧重概念、公式、法则在各方面的应用，应淡化某些公式、法则的理论推导，应立足基础知识和基本方法的复习，以熟练技能、强化应用为目标．学会优先考虑利用导数求函数的极大(小)值、最大(小)值或解决应用问题，这些问题是函数内容的继续与延伸，这种方法使复杂问题简单化．导数与解析几何或函数图象的综合问题，尤其是抛物线与三次函数的切线问题，是高考中考查综合能力的一个方向，应引起注意．
第一节 函数及其表示
知识梳理
一、函数与映射的概念
两集合 函数 设A、B是两个________ 如果按照某种确定的对应关对应关系 系f，使对于集合A中的______一个数x，在集合B中有______确定的数f(x)和它对应 名称 记法 二、函数的表示 1．函数的表示方法．
表示函数的方法，常用的有解析法、列表法和图象法三种．
(1)解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式．
(2)列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系． (3)图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系．
称________为从集合A到集合B的一个函数 映射 设A、B是两个________ 如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的______一个元素x，在集合B中有________的元素y与之对应 称对应________为从集合A到集合B的一个映射 对应f：A→B是一个映射 A、B f：A→B y＝f(x)，x∈A
2．函数解析式的常用求法．
(1)配凑法；(2)换元法；(3)待定系数法；(4)赋值法． 三、函数定义域的确定
1．定义域是函数的灵魂，因此在研究函数时一定要遵循“定义域优先”的原则． 确定函数的定义域的原则是：
(1)当函数y＝f(x)是用表格给出时，函数的定义域是指表格中实数x的集合； (2)当函数y＝f(x)是用图象给出时，函数的定义域是指图象在x轴上投影所覆盖的实数x的集合；
(3)当函数y＝f(x)是用解析式给出时，函数的定义域就是指使这个式子有意义的所有实数x的集合；
(4)当y＝f(x)是由实际问题给出时，函数的定义域由实际问题的意义确定． 2．由解析式表示的函数的定义域的求法． (1)若f(x)是整式，则函数的定义域是实数集R；
(2)若f(x)是分式，则函数的定义域是使分母不等于0的实数集；
(3)若f(x)是二次(偶次)根式，则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数集合；
(4)若f(x)是对数式，则函数的定义域是使真数的式子大于0且底数大于0并不等于1的实数集合；
(5)若f(x)是指数式，则零指数幂的底数不等于零；
(6)若f(x)是由几个部分的数学式子构成的，则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合；
(7)含参问题的定义域要分类讨论． 四、分段函数
1．分段函数的定义：在其定义域的不同子集上，分别用几个不同的式子来表示对应关系的函数，叫做分段函数．它是一类较特殊的函数．
2．分段函数是一个函数，而不是几个函数．若函数为分段函数，则分别求出每一段上的解析式，再合在一起．
3．因分段函数在其定义域内的不同子集上，其对应法则不同而分别用不同的式子来表示，因此在求函数值时，一定要注意自变量的值所在的子集，而代入相应的解
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