第九讲 数列规律
教学目标
在今天这节课中，我们将来研究数列问题．教师通过示例引导学生正确认识数列，并且帮助学生掌握研究数列、发现数列规律的方法，以及获得利用规律解决问题的能力. 知识点 1、掌握一些常见的数列的规律.
2、掌握一些特殊数列的规律，并熟练应用规律解决问题. 3、理解掌握运用数列规律解决数阵问题.
很久很久以前，阿拉伯世界里流传着这样一
想道很有名的题目：一对兔子每月能生一对小兔，而
每对小兔在出生后的第三个月就能开始生小兔，如 挑果兔子是长生不老的，由一对刚出生的小兔开始， 战第十个月会有多少只兔子？ 吗
？
分析：第一个月兔子数目为： 1，第二个月兔子仍不可以生小兔，所以兔子数目为1对，第三个月老兔子开始可以生小兔子，兔子数目为2对，第四个月兔子数目为3对，第五个月为5对，第六个月为8对，第七个月为13对……将这些数排成一列为：1，1，2，3，5，8，13…通过观察，可以发现，从第三个数开始，每个数等于它前面的两个数的和．即：2=1+1，3=1+2，5=2+3，所以，第十个月兔子的对数等于数列中第八个数加上第九个数，第十个月兔子对数为：21+34=55对.
专题精讲
日常生活中，我们经常接触到许多按一定顺序排列的数，如： （1）自然数：1，2，3，4，5，6，7，… （1）
（2）年份：1990，1991，1992，1993，1994，1995，1996
（3）某年级各班的学生人数（按班级顺序一、二、三、四、五班排列）45，45，44，46，45
像上面的这些例子，按一定次序排列的一列数就叫做数列．数列中的每一个数都叫做这个数列的项，其中第1个数称为这个数列的第1项，第2个数称为第2项，…，第n个数就称为第n项．如数列（3）中，第1项是45，第2项也是45，第3项是44，第4项是46，第5项是45．
根据数列中项的个数分类，我们把项数有限的数列（即有有穷多个项的数列）称为有穷数列，把项数无限的数列（即有无穷多个项的数列）称为无穷数列，上面的几个例子中，（2）（3）是有穷数列，（1）是无穷数列．
（一） 找数列中的规律
【例1】 观察下面的数列，找出其中的规律，并根据规律，在括号中填上合适的数.
(1) 100，88，76，64，52，（ ），28
(2) 1，3，6，10，（），21，28，36，（） (3) 2，1，3，4，7，（ ），18，29，47 (4) 1，3，9，27，（），243
(5) 1，8，27，64，125，（ ），343 (6) 1，2，6，24，120，（），5040
(7) 2， 1， 4， 3， 6， 9， 8， 27， 10，（ ） (8) 1，1，1，3，5，9，17，（）
分析：（1） 100，88，76，64，52，（ ），28
通过观察不难发现，从第2项开始，每一项都比它前面一项少12，也就是说每相邻两项所得的差都等于12.因此，括号中应填的数是40，即：52-12=40．
像（1）这样，相邻两项之间的差是定值，我们把这样的数列叫做等差数列．
（2） 1，3，6，10，（），21，28，36，（）
（方法一）先计算相邻两数的差，有：3-1=2，6-3=3，10-6=4 ，……，28-21=7，36-28=8，……
由此可以推知这些差一次为2、3、4、5、6…… ，所以这列数从小到大地排列规律是相邻两数的差按2、3、4、5、6……增加，括号里应填15，45，即10+5=15，36+9=45. (方法二)继续考察相邻项之间的关系，可以发现：
因此，可以猜想，这个数列的规律为：每一项等于它的项数与其前一项的和，那么，第5项为15，即15=10+5，最后一项即第 9项为 45，即 45＝36＋9.代入验算，正确． （方法三)这一列数还有如下的规律：第1项：1=1,第2项：3=1＋2,第3项：6=1+2+3,第4项：10=1+2+3+4,
第6项：21=1+2+3+4+5+6,……
即这个数列的规律是：每一项都等于从1开始，以其项数为最大数的n个连续自然数的和.因此，第5项为15，即：15=1+2+3+4+5；第9项为45，即：45=1+2+3+4+5+6+7+8+9．
（3） 2，1，3，4，7，（ ），18，29，47
这个数列即不是等差数列，也不是等比数列，但是可以发现，从第三项开始每一项都等于前面两项地和，即：3=1+2，4=1+3，7=3+4，……，47=18+29，所以括号中的数应该是：4+7=11
（4） 1，3，9，27，（），243
此数列中，从相邻两项的差是看不出规律的，但是，从第2项开始，每一项都是其前面一项的3倍.即：3=1×3，9= 3×3， 27=9×3，也就是说相邻两项之间的商相等．因此，括号中应填 81，即 81= 27×3，代入后， 243也符合规律，即 243＝81×3．
像（4）这样，相邻两项之间的商是定值，我们把这样的数列叫做等比数列．
（5）1，8，27，64，125，（ ），343
通过观察可以发现： 1=1×1×1，8=2×2×2，27=3×3×3，64=4×4×4，125=5×5×5，343=7×7×7，根据这个规律，括号中应填：6×6×6=216
我们把这样的数列叫做立方数列，即每一项等于其项数乘以项数再乘以项数.
（6）1，2，6，24，120，（），5040
（方法一）这个数列不同于上面的数列，相邻项相加减后，看不出任何规律.考虑到等比数列，我们不妨研究相邻项的商，显然：
所以，这个数列的规律是：除第1项以外的每一项都等于其项数与其前一项的乘积.因此，括号中的数为第6项720，即 720=120×6．
（方法二）本题也可以考虑连续自然数，显然：第1项 1=1，第2项 2=1×2，第3项 6=1×2×3，第4项 24=1×2×3×4，……，所以，第6项应为 1×2×3×4×5×6=720
（7） 2， 1， 4， 3， 6， 9， 8， 27， 10，（ ）。
分析：通过观察发现，前面的方法都不适用于这个数列，但是如果隔着看这个数列中的一些数是非常有规律的，如：3，8，13，18，而他们恰好是第一项、第三项、第五项、第七项，所以不妨把数列分为奇数项（即第1，3，5，7，9项）和偶数项（即第2，4，6，8项）来考虑，把数列按奇数和偶数项重新分组排列如下：把数列分为奇、偶项：
偶数项：2，4，6，8，10
奇数项：1，3，9，27，（ ）.
所以，偶数项为等差数列，奇数项为等比数列，括号中应填81（81=27×3）.
像这样的数列，每个数列中都含有两个系列，这两个系列的规律各不相同，类似这样的数列，称为双系列数列或双重数列.
(8) 1，1，1，3，5，9，17，（）
可以发现， 3=1+1+1，5=1+1+3，9=1+3+5，从第四个数起，每一个数都等于前三个数的和，可知需填补的数字为： 5+9+17=31 ， 9+17+31=57
本题考虑的是相邻四个数的直接关系，这一类题都是考虑后面一个数字与前面几个数字地共同关系，由于前面几个数字可以进行的运算方式有很多，所以这种题型的变化方式也很多．
【例2】 观察下面的数列，找出其中的规律，并根据规律，在括号中填上合适的数. （1）4＋2，5＋8，6＋14，7＋20，（ ），……
（2）（1，2，100），（2，4，90），（3，8，80），（4，16，70），（ ） （3）1×3，2×2，1×1，2×3，1×2，2×1，1×3，（ ）
分析：（1）4＋2，5＋8，6＋14，7＋20，（ ），……
这排加法算式，前面一个数构成数列：4，5，6，7，……；后一个数构成数列：2，8，14，20，……． 对于数列4，5，6，7，……，由观察得知，第2项等于第1项加上1，第3项等于第1项加上2，第4项等于第1项加上3，……，所以第5项等于第1项加上4，即
4＋4＝8． 同理，数列：2，8，14，20，……，第2项等于第1项加上1×6，第3项等于第1项加上2×6，第4项等于第1项加上3×6，……，所以第5项等于第1项加上4×6，即2＋4×6＝26． 所以，括号里应填8+26．
（2）（1，2，100），（2，4，90），（3，8，80），（4，16，70），（ ） 观察这个数列中每一组中对应位置上的数字，可以得到如下规律： 每组第一个是1、2、3、4、......这是一个自然数列， 第二个是2、4、8、16、......，这是一个等比数列，
第三个100、90、80、70......，这是一个递减的等差数列；
所以，第5组中的数应该是：5，16×2，70-10，即第五组的括号中应填（5，32，60）．
（3）1×3，2×2，1×1，2×3，1×2，2×1，1×3，（ ）
这是一排乘法算式，观察可以发现，前面一个数的规律是：1，2，1，2，1，2，1……；后一个数的规律是：3，2，1，3，2，1，3，……，对于第一个数列，是由1、2两个数字循环组成的，所以第八项应为2；对于第二个数列，是由3、2、1循环组成的，所以第八项的第二个数字应为2．所以，括号里应填2×2．
【例3】 建筑工人将一堆木头堆成如图的形状，你知道如果按这样的方法堆木头，一共堆15层的话，第15层有多少根？
分析：通过观察这堆木头可以发现，最上面的一层有1根木头，第二层有2根，第三层有3根，第四层有4根，……我们可以将这道题转化一下,有一组数：1，2，3，4，5，6，……问第十五层有多少根，也就是求这组数中第十五个数是什
么，通过我们刚刚学过的我们知道，这是一个等差数列，第十五项为15，也就是第十五层有15根木头．
[拓展]小海喜欢收集小木棒，并将它们按下图的形状摆放在书桌上，最底下一层小海摆放了27根小木棍，接着摆放了26根，以此类推，到最后小海发现最上面一层只放了3根小木棒后就没有了，你知道小海一共收集了多少根小木棒吗？
分析：通过读题我们知道，小海的这堆小木棒摆放有一定的规律：第一层：3，第
二层：4，第三层：5，第四层：6，……，最后一层：27，通过观察可以得出，这一列数构成等差数列，问小海一共有多少小木棒，也就是将每层小木棒的数目加起来的和，即：3+4+5+6+7+8+9+10+11+…+25+26+27＝（27+3）+（26+4）+……+（16+14）+15＝30×12+15＝375，所以，小海一共收集了375根小木棒．
【例4】 下面的各算式是按规律排列的：
1＋1，2＋3，3＋5，4＋7，1＋9，2＋11，3＋13，4＋15，1＋17，……， 那么其中第多少个算式的结果是2008？
分析：先找出规律： 每个式子由2个数相加，第一个数是1、2、3、4的循环，第二个数是从1开始的连续奇数． 因为2008是偶数，2个加数中第二个一定是奇数，所以第一个必为奇数，所以是1或3， 如果是1：那么第二个数为2008－1=2007，2007是第（2007+1）÷2=1004项，而数字1始终是奇数项，两者不符， 所以这个算式是3+2005=2008，是（2005＋1）÷2=1003个算式．
[拓展]观察下面的算式：4×2，5×4，6×6，4×8，5×10，6×12，4×14，5×16，……其中第多少个算式的结果是2008？
分析：每个式子都是两个数相乘，第一个数是4、5、6的循环，第二个数是从2开始的连续偶数.因为2008只能被4整除，所以第一个数只能是4，2008÷4=502，所以第二个数是502，502是第502÷2=251项，所以2008是第251个算式的结果.
（二）特殊数列中的规律
【例5】 仔细观察下面的数表，找出规律，然后补填出空缺的数字．
（1）
6393（2）
84257964？57？519
2865674911182010（）1012
分析：（1）通过观察前两个三角形中的数，可以发现：39=（3+4+6）×3，57=（2+8+9）×3，即中间数= 周围三数之和×3，所以第三个三角形最中间的数应为：（5+6+4）×3=45，最后一个三角形中要填地数为51÷3-（7+9）=1.
（2）这个数表的规律是：第二行的数等于相应的第三行的数与第一行的数的差的2倍.即：8=2×（6—2），10＝2×（10—5），4=2×（9—7），18=2×（20—11）.因此，括号内填12.
[拓展]表1、表2是按同一规律排列的两个方格表.那么表2方格中应填的数是多少？
分析：从表1的行与列两个方面寻找填数的规律，从24=4×6可得，第一行最左边的数等于其余两数的乘积，第一列最上面的数等于其余两数的乘积；从4=2+2，6=2+4可得，第二行最左
边的数等于其余两数的和，第二列最上面的数等于其余两数的和；从6=4+2，4=2+2可得，第三行、第三列的规律与第二行、第二列相同，根据这一规律，可得“？”处应填3（5-2=3）.
a【例6】 右图中各个数之间存在着某种关系．请按照这一关系求出数a和b．
2016 1710分析：图中5个圆、10个数字，其中5个数字是只属于某一个圆本身的，5个
b15数字是每两个圆相重叠的公共区域的，观察发现：10+20＝15×2，20+40＝30
30×2，也就是说两圆重叠部分的公共区域的数字2倍，正好等于两圆独有数字之
2040和，所以，a=2×17-10=24，b=（16+40）÷2=28．最后验算一下：20×2-16=24，符合．
三年级下册数学试题-奥数专题讲练：第9讲 数列规律精英篇(解析版)全国通用
