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初中数学竞赛专题选讲
识图
一、内容提要
1.几何学是研究物体形状、大小、位置的学科。
2.几何图形就是点，线，面，体的集合。点是组成几何图形的基本元素。《平面几何学》只研究在同一平面内的图形的形状、大小和相互位置。
3.几何里的点、线、面、体实际上是不能脱离物体而单独存在的。因此单独研究点、线、面、体，要靠正确的想像 点：只表示位置，没有大小，不可再分。
线：只有长短，没有粗细。线是由无数多点组成的，即“点动成线”。 面：只有长、宽，没有厚薄。面是由无数多线组成的，“线动成面”。 4.因为任何复杂的图形，都是由若干基本图形组合而成的，所以识别图形的组合关系是学好几何的重要基础。
识别图形包括静止状态的数一数，量一量，比一比，算一算；运动状态中的位置、数量的变化，图形的旋转，摺叠，割补，并合，比较等。还要注意一般图形和特殊图形的差别。 二、例题
例1.数一数甲图中有几个角（小于平角）？乙图中有几个等腰三角形？丙图中有几全等三角形？丁图中有几对等边三角形？
A E 甲A 丙DCD丁乙
OO DCBA
B
CBE
解：甲图中有10个角：∠AOB, ∠AOC,∠BOC,∠BOD,∠COD, ∠COE,∠DOE,∠DOA,∠EOA,∠EOB.如果OA和OC成一直线，则少一个∠AOC，余类推。
乙图中有5个等腰三角形：△ABC，△ABD，△BDC，△BDE，△DEC
丙图中有全等三角形4对：(设AC和DB相交于O)
△AOB≌△COD，△AOD≌△BOC，△ABC≌△CDA，△BCD≌△DAB。
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丁图中共有等边三角形48个：
边长1个单位：顶点在上▲的个数有 1＋2＋3＋4＋5＝15
顶点在下▼的个数有 1＋2＋3＋4＝10
边长2个单位：顶点在上▲的个数有 1＋2＋3＋4＝10
顶点在下▼的个数有 1＋2＝3
边长3个单位：顶点在上▲的个数有 1＋2＋3＝6 边长4个单位：顶点在上▲的个数有 1＋2＝3 边长5个单位：顶点在上▲的个数有 1
以上要注意数一数的规律
例2.设平面内有6个点A1，A2，A3，A4，A5，A6，其中任意3个点都不在同一直线上，如果每两点都连成一条线，那么共有线段几条？如果要使图形不出现有4个点的两两连线，那么最多可连成几条线段？试画出图形。
（1989年全国初中数学联赛题）
解：从点A1与其他5点连线有5条，从点A2与其他4点（A1除外）连线有4条，从A3与其他3点连线有3条（A1，A2除外）……以此类推，6个点两两连线共有线段1＋2＋3＋4＋5＝15（条），或用每点都与其他5点连线共5×6再除以2（因重复计算）。
要使图形不出现有4个点的两两连线，那么每点只能与其他4个点连线，共有（6×4）÷2＝12（条）如下图：其中有3对点不连线：A1A4，A2A5，A3A6 A5 A4
A6
A3
A1 A2
例3.如图水平线与铅垂线相交于O，某甲沿水平线，某乙铅垂线同时匀速前进，当甲在O点时，乙离点O为500米，2分钟后，甲、乙离点O相等；又过8分钟，甲、乙再次离点O相等。求甲和乙的速度比。
解：如图设甲0，乙0为开始位置，甲1，乙1为前进2分钟后位置，甲2，乙
2
乙2
为再前进8分钟的位置。再设甲，乙的速度分别为每分钟x,y 米，根据题意得
?2x?500?2y ?10x?10y?500?解得12x=8y
甲 O 甲1 甲2
乙1
∴x∶y=2∶3
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乙0
答甲和乙的速度比是2比3。
例4.在三角形内（不在边上）有3个点，连同原三角形三个顶点，共6个点，以这6个点为顶点，作出所有不重迭的三角形共有几个？
（1989年全国初中数学联赛题）
解：如图△ABC中一个点D，与A，B，C各点连结可得3个不重迭的三角形；再增加1个点E，这时可连结不重迭的三角形共5个，再增加1个点F，又可增加2个不重迭的三角形，共有7个。
一般规律是每增加1个点，可增加不重迭的三角形2个
A A A
F
D E E B C D D B C B C 三、练习
1. 数一数：甲图中有直角三角形＿＿个，乙图中有等腰直角三角＿＿个，
丙图中有全等三角形＿＿对。
A D D C A E D
C E B A B
甲 乙 B 丙 C
2. 平面上有5个点A，B，C，D，E，其中A，B，C三点在同一直线上，
那么以这5个点为端点的线段共有＿＿＿条，记作_____＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 3. 以O为端点画6条射线OA，OB，OC，OD，OE,OF,那么可组成的
角（小于平角）最多是＿＿个，最少是＿＿＿个，试分别画出草图。 4. 在三角形内有n个点（n为整数）与原三角形3个顶点共n＋3个点，
以这些点为顶点可连成不重迭的三角形最多有＿＿＿＿个。
5. 下图中三角形＿＿＿个其中等腰三角形＿＿个，直角三角形＿＿＿个，
全等的等腰三角形＿＿组，每组＿＿个， 全等的直角三角形＿＿＿组，每组＿＿个。
G A D
6. 如图长方形ABCD中，E，F，G分别在边
FBC，CD，DA上，以A为一个顶点，其他两点
B在B，C，D，E，F，G中任选，总共可组成的 CE精品文档
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三角形的个数是＿＿（1987年泉州市初二数学双基赛题）
7. 平面上有6个点A，B，C，D，E，F其中任意3个点都不在同一直
线上，如果不使图形出现有3个点两两连线，那么最多可连接线段几条？试画出草图. 8. C 如图OC⊥AB于O，OD⊥OE于O，写出图中 E 相等的角：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 互余的角：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
D 3 互补的角：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
1
A42B
9.D G C 如图长方形ABCD中，AB＝5，BC＝4， AE＝BF＝1，CG＝DH＝2 H F 那么四边形EFGH的面积是＿＿（平方单位）
A E B 10.如图A，B，C，D四点在同一直线上，到A，B，C，D各点距离之和为最小值的点在什么位置？有几个符合条件的点？距离之和的最小值可用哪些线段的长度来表示？（1987年全国初中数学联赛题）
O
A B C D 11.正方形的边长为a ，以四条边长为直径，向形内作4个半圆，求这四个半圆相交所成的菊花形面积。
12.下列四图，都是由全等正方形组成的图形，其中哪一个能围成正方体？答：（ ）
（A） (B) (C) (D)
13. 甲，乙两人沿着圆周同时匀速前进，开始他们位于一条直径的两端，相
向而行，第一次相遇时，乙走了100米，第二次相遇时，甲还差60米走完一圈。求这个圆的周长。
提示：可设 圆周长为x 米，并引入参数V甲，V乙 列方程组解之 14.正方形ABCD边长为a，在点A处有个质点P， 在点B处有个质点 Q， 两个质点同时依反时针方向，沿正方形的边线作匀速的运动，过4秒
钟，P在C处追上Q。那么 B P A ① 再过 ＿＿秒钟， P在＿处第二次追上Q P 精品文档
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② 出发6秒钟时，P，Q这间相距＿＿a Q C D
15.有长3cm，宽2cm的长方形纸片1991张，将它们按照下图所示的方法，摆在平面上，那么这1991张纸片覆盖的面积是（ ）
（1991年泉州市初二数学双基赛题）
（A） 3982 （B）3986 （C）3990 （D）3999
16.一条线段（与圆相交）可把一个圆分成两部分，问四条线段最多可把圆分成＿＿＿＿部分。（1991年泉州市初二数学双基赛题） 17.把一个矩形分成6个正方形（如图），其中最小的一个面积是1（单位平
方）那么这个矩形的面积是＿＿＿（单位平方）
11
练习题参考答案
1. 5，8，4 2. 10
3. 15, 12 4. 1+2n
5. 16,8,8 .4,2.2,4 6. 14 7. 9
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