2024秋新教材高中数学第四章指数函数与对数函数4.4.2对数函数的图象和性质分层演练含解析新

4.4.2对数函数的图象和性质

分层演练 综合提升 A级 基础巩固

1.如图,若C1,C2分别为函数y=logax和y=logbx的图象,则 ( )

A.0b>1 D.b>a>1 答案:B

2.下列关于函数f(x)=log1(x-4)的单调性叙述正确的是

3

( )

A.在R上为增函数 B.在R上为减函数

C.在区间(4,+∞)上为增函数 D.在区间(4,+∞)上为减函数 答案:D

3.函数f(x)=4+loga(x-1)(a>0,且a≠1)的图象恒过定点A,则点A的坐标是(2,4). 4.函数f(x)=√log1(3??-2)的定义域是(3,1].

2

2

5.已知函数f(x)=loga(1-x)+loga(x+3),其中0

(2)当a=2时,求f(x)的最小值.

1-??>0,

解:(1)欲使函数有意义,则有{

??+3>0,解得-3

(2)因为当a=时,f(x)=log1[(1-x)(x+3)],所以f(x)=log1(-x-2x+3)=log1[-(x+1)+4].2

2

2

2

1

1

22

22

因为-3

22B级 能力提升

6.若a=log36,b=log510,c=log714,则 ( ) A.c>b>a

B.b>c>a

C.a>c>b D.a>b>c

解析:a=log36=1+log32,b=log510=1+log52,c=log714=1+log72.因为log27>log25>log23>0,所以log7

2

2

2

111

即log72b>c,故选D. 答案:D

7.设不等式2(log1x)-3log1x+1≤0的解集为M,求当x∈M时,函数f(x)=log2×log2的

2

2

2

????

28

最大值和最小值.

解:由2(log1x)-3log1x+1≤0,得(2log1x-1)·

2

2

2

2

(log1x-1)≤0,解得2≤log1x≤1,

2

2

1

所以2≤x≤2,所以M=[2,

??

??

1√21

√2]. 2

f(x)=log22×log28=(-1+log2x)(-3+log2x)=(log2x)2-4log2x+3.令t=log2x,由

log2x=-log1x,得t∈[-1,-],

2

12

所以f(t)=t-4t+3=(t-2)-1.

因为f(t)=(t-2)-1在t∈[-1,-]上单调递减,所以当t=-,即log2x=-,x=时,y取得

2

22

12

12

12√22

最小值,为; 4

21

当t=-1,即log2x=-1,x=时,y取得最大值,为8.

2

1

8.已知函数f(x)=loga(ax-x). (1)若a=2,求f(x)的单调区间;

(2)若f(x)在区间[2,4]上是增函数,求实数a的取值范围.

解:(1)当a=2时,f(x)=log1(2x-x).易知函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(2,+∞),且

22

1

11

2

y=2x2-x在区间(-∞,0)上单调递减,在区间(2,+∞)上单调递增.

故函数f(x)=log1(2x-x)在区间(-∞,0)上单调递增,在区间(2,+∞)上单调递减.

2

1

1

2

(2)令g(x)=ax-x,则g(x)图象的对称轴为直线x=.又因为f(x)在区间[2,4]上是增函

2??

2

1

数,

则有:①当a>1时,2??≤2,所以a>1. 又因为g(x)在区间[2,4]上恒大于0, 所以g(2)>0,所以4a-2>0,解得a>2,所以a>1. ②当0

1

11

1

所以g(4)>0,所以16a-4>0,解得a>,与01.

4

8

11

C级 挑战创新

9.多选题已知函数f(x)=ln(3+x)+ln(3-x),下列说法正确的是 ( ) A.函数f(x)的定义域为(-3,3)

B.函数f(x)既不是奇函数,也不是偶函数 C.函数f(x)是在定义域上的减函数 D.函数f(x)的最大值是ln 9

3+??>0,

解析:由{得-3

3-??>0,

由f(-x)=ln(3-x)+ln(3+x)=f(x),知函数f(x)是偶函数,故选项B错误; 由f(x)=ln(9-x),知f(x)不是单调函数,故选项C错误;

由f(x)=ln(9-x)≤ln 9,知f(x)的最大值为ln 9,故选项D正确. 答案:AD

10.多空题若函数f(x)=log21-??为奇函数(f(x)不是常数函数),则a=-1.f(x)>0的解集为(0,1).

解析:由题意,知f(-x)=-f(x),即 log2

1+????1+??

1-????

22

+log2

1-????1-??

=0, 1-??2??21-??2

2

所以log2

1-??2??21-??2

=0,即

2

=1,

所以1-ax=1-x,所以a=1,即a=±1,当a=1时,f(x)=0不合题意,故a=-1. 由f(x)=log21-??>0,得1-??>1,即1-??-1>0, 所以1-??>0,所以x(1-x)>0,解得0

2??

1+??

1+??

1+??

22